Типовая задача 1

По известным данным определить показатели вариации и показатели относительного рассеивания.

Выполнение нормы, %	Численность рабочих, чел.
80-90	5
90-100	19
100-110	36
110-120	25
120 и более	15

Решение

1) Определим размах вариации: (%).

2) Определим среднее квадратическое отклонение, рассчитав сначала среднее значение признака:

Таким образом, выполнение нормы рабочими отклоняется от среднего значения на 8,92 %.

3) Рассчитаем дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

4) Оценим однородность совокупности с помощью коэффициента вариации:

, т.к. V33%, то данную совокупность можно считать однородной.

Для сгруппированной статистической совокупности возможно вычисление 3 видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она может быть вычислена как простая или взвешенная дисперсия.

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, обусловленную влиянием факторного признака, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних от общей средней:

.

Внутригрупповая (частная) дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. вариацию, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от факторного признака, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы (х) от средней арифметической этой группы, (групповой средней):

простая	взвешенная

Между всеми указанными дисперсиями существует взаимосвязь, которая называется правилом сложения дисперсий – общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсии:

.

Чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияние группировочного признака на изучаемый признак.

В связи с этим в статистическом анализе широко используется эмпирический коэффициент детерминации () – показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии результативного признака:

.

Он принимает значения от 0 до 1 и показывает долю вариации результативного признака у под влиянием факторного признака х (остальная часть общей вариации у обуславливается вариацией прочих факторов).

Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации называется эмпирическим корреляционным отношением:

.

Оно также может принимать значения от 0 до 1. С его помощью оценивают тесноту связи между факторным и результативным признаком: чем ближе корреляционное отношение к 1, тем теснее связь между признаками.

Типовая задача 2

Известны данные о бригаде рабочих предприятия:

Тарифный разряд	Число рабочих	Дневная выработка деталей одним рабочим, шт.
3 4 5	2 4 5	100, 120 120, 120, 140, 160 140, 160, 170, 180, 200

Определить:

а) внутригрупповую дисперсию по выработке деталей одним рабочим;

б) среднюю из внутригрупповых дисперсий;

в) межгрупповую дисперсию;

г) общую дисперсию выработки рабочих этой бригады;

д) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Сделать выводы.

Решение

а) Внутригрупповую дисперсию определим по формуле:

Для расчета внутригрупповых дисперсий вычислим средние по каждой группе:

, тогда

б) Определим среднюю из внутригрупповых дисперсий:

в) Межгрупповую дисперсию определим по формуле:

Рассчитаем общую среднюю величину признака:

г) Определим общую дисперсию по правилу сложения дисперсий:

д) Эмпирический коэффициент детерминации:

, т.е. дневная выработка деталей рабочими на 64% обусловлена их разрядом, и на 36%  другими факторами.

Эмпирическое корреляционное отношение:

, т.е. между дневной выработкой деталей и квалификацией рабочих существует сильная статистическая зависимость.