Понятие о двойственности решений.

Правила записи двойственной задачи рассмотрим на следующем примере.

Пример: Пусть заданна следующая исходная модель задачи:

F=4x₁+5x₂+9x₃→max;

X₁+x₂+2x₃≤1.6; (а)

7x₁+5x₂+3x₃≤ 25. (б)

Для того чтобы записать действенную задачу, необходимо знать следующие приемы.

1) каждому i –му ограничению исходной задачи, соответствует переменная двойственной задачи, называемая двойственной переменной, обозначаемая Z _i. В данной системе ограничению (а) соответствует переменная Z₁

а ограничению (б) Z₂ .

2) Каждой переменной исходной задачи соответствует ограничение двойственной задачи ;т.к в данной системе имеется три переменные x₁ x₂ x₃ , то двойственная задача должна иметь три ограничения.

3) Матрица коэффициентов при двойственных переменных в ограничениях двойственной задачи является транспонированной матрицей коэффициентов при переменных состоящих в ограничениях. Для данной задачи получим:

4) Если в исходной задаче ограничения имеют знаки неравенств типа меньше (≤ ), то в двойственной они изменяются на противоположные типа больше (≥) .

5) Правые части ограничений в двойственной задаче равняются коэффициентам при переменных в исходной задаче, а коэффициенты при двойственных переменных в целевой функции в двойственной задачи равняются правым частям ограничений исходной задачи.

6) Максимизация целевой функции исходной задачи заменяется минимизацией целевой функции двойственной задачи. Таким образом, получим:

Fg= 16 z₁+26z₂ → min;

z₁+7z₂≥4;

z₁+5z₂≥5;

2z₁+3z₂ ≥ 9;

z_i ≥ 0; i = 1,2

Важным свойством двойственной задачи является то, что max F = min Fg, при этом

_m

max F = ∑ b_i z_i.

^I=1

Таким образом, двойственная переменная оценивает влияние изменения каждого вида ресурса на целевую функцию.

Вопросы для самоконтроля по главе

1. Какие три компонента должна включать любая задача оптимизации?

2. Что называют допустимым решением задачи?

3. Какую транспортную задачу называют сбалансированной?

4. Какими двумя основными параметрами можно охарактеризовать любой вид производства или сферу деятельности ?

5. По какому принципу составляются симплекс – таблицы?

Тест по главе

1. Какие из компонентов должна включать в себя задача оптимизации?

а) целевую функцию F, ограничения gi;

б) целевую функцию F, граничные условия;

в) Целевую функцию F, ограничения gi , граничные условия.

2. Если сумма всех запасов A у поставщика равняется сумме всех заявок B потребителей, то такую транспортную связь называют…

а) сбалансированной; б) несбалансированной.

3) По результатам таблицы выберите наилучший результат для каждой ситуации

ситуация	Весовые коэффициенты		Вариант системы
	а1	а2	1	2	3	4
1	1	0	-0,3	0	0,5	1
2	0.5	0.5	0,15	0,37	0,77	0,099
3	0	1	-1	-0,2	-0,5	-0,66

а) 2, 3, 1. б) 3, 1, 4. в) 4, 3, 2.

4. Матрица коэффициентов при двойственных переменных в ограничениях двойственной задачи является

а) транспонированной; б) обратной; в) союзной, матрицей коэффициентов при переменных состоящих в ограничениях.

5. важным свойством двойственной задачи является:

а) б)в)г)