
- •Министерство образования российской федерации
- •Содержание
- •Глава I. Основные понятия и определения 4
- •Глава I. Основные понятия и определения.
- •1.1. Принятие решений как вид человеческой деятельности.
- •1.2. Математические модели принятия решений.
- •ГлаваIi. Математические модели оптимизации ресурсов и принятия решений.
- •2.1. Общий случай математической постановки задачи оптимизации.
- •2.2. Методы оптимизации и распределения ресурсов на основе задач линейного программирования.
- •2.3. Методы многопараметрической оптимизации в процессах планирования, управления и принятия решений.
- •2.4. Задачи линейного программирования в оперативном управлении производством и принятии решений.
- •Понятие о двойственности решений.
- •Вопросы для самоконтроля по главе
- •Тест по главе
- •Глава III .Задачи нелинейного программирования в процессе оптимизации ресурсов и принятия решений.
- •3.1. Аналитические методы решения задач безусловной оптимизации.
- •3.2. Задачи условной оптимизации и методы их решений.
- •Вопросы для самоконтроля по главе
- •Тест по главе
- •Глава IV. Теоретико-игровые модели принятия решения.
- •4.1. Матричные игры.
- •4.2. Позиционные игры.
- •4.3. Биматричные игры.
- •Вопросы для самоконтроля по главе
- •Глава V. Исследование операций.
- •5.1. Динамическое программирование
- •Постановка задачи
- •5.2. Элементы теории управления запасами.
- •5.3. Теория массового обслуживания.
- •Вопросы для самоконтроля по главе
- •Вопросы для самопроверки
- •Словарь основных понятий
- •Литература
- •Ответы к текстам
- •Для замечаний
2.4. Задачи линейного программирования в оперативном управлении производством и принятии решений.
Так как любое предприятие функционирует в организационно – деловой среде, оперативно решая сложные повседневные проблемы в соответствии с поставленными целями и возникающими ситуациями, с бесперебойным обеспечением ресурсами производственного процесса, то задачи , присущие динамике оперативного управления производством, решаются обычно на основе математических моделей, аналогичных рассмотренным ранее для целей оптимального планирования.
Пример: Пусть предприятием выпускается продукция четырех видов П1-П4 с использованием для этого ресурсов, виды и нормы расхода по которым, а также уровень получаемой от их реализации прибыли приведен в таблице 3. Необходимо получить вариант оптимального плана производства по критерию максимума прибыли.
Таблица 3 Исходные данные задачи плана производства.
Элемент модели |
Вид продукции |
Располагаемый ресурс | |||
П1 |
П2 |
П3 |
П4 | ||
Ресурсы: трудовые |
1 |
1 |
1 |
1 |
16 |
сырье |
6 |
5 |
4 |
3 |
110 |
оборудование |
4 |
6 |
10 |
13 |
100 |
Прибыль с единицы продукции плана |
60 |
70 |
120 |
130 |
|
План |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
Решение: Математическая модель может быть записана в следующем виде:
F=
60x1
+ 70x2
+ 120x3
+ 130x4
→
max;
x1+x2+x3+x4 ≤ 16;
6x1+5x2+4x3+3x4≤ 110
4x1+6x2+10x3+13x4≤100
xj≥0;
j=1,4
При решении данной системы неравенств на ЭВМ получим следующий оптимальный план производства видов продукции : x1= 10 ; x2= 0; x3 =4 ; при этом величина прибыли составляет F=1320.
Рассмотрим типовые примеры нахождения решения данной (и всех подобных) задач.
Переменные x1 x2 x3 ...., называются основными. Если от данной системы неравенств перейти к системе уравнений, то в каждое неравенство необходимо добавить по одной дополнительной переменной yi, i=1,m.
Т.е
система примет вид:
F= 60x1 + 70x2 + 120x3 + 130x4 → max;
x1+x2+x3+x4+ y1 =16
6x1+5x2+4x3+3x4 + y2 =110;
4x1+6x2+10x3+13x4+y3 = 100;
xj≥0;
j=1,4; yi ≥ 0, i= 1,3
Перепишем систему уравнений в следующем виде:
F=0
– ( - 60x1
– 70x2
– 120x3-
130x4)
→
max;
y1= 16-(x1+x2+x3+x4);
y2= 110-(6x1+5x2+4x3+3x4 );
y3=100 – (4x1+6x2+10x3+13x4 ) ;
xj≥0
Эту систему можно представить в виде симплекс – таблицы (табл 4), составляемой следующим образом: целевую функцию и базисные переменные, находящиеся в уравнениях слева, запишем в первый столбец таблицы ; свободные переменные, заключенные в скобки, вынесем в первую строку таблицы, а в остальные столбцы запишем свободные члены и коэффициенты перед свободными переменными (симплекс – таблицы служат основой для решения задач линейного программирования). В этой таблице переменные являющиеся свободными ( x1x2x3x4) равны нулю ( по определению свободных переменных). Тогда базисные переменные (y1 y2 y3), а также целевая функция F равны свободным членам , т.е y1= 16, y2= 110, y3=100, F=0.
Таблица 4 Симплекс таблица
величина |
свободный член |
Вид продукции | |||
x1 |
x2 |
x3 |
x4 | ||
F |
0 |
-60 |
-70 |
-120 |
-130 |
y1 |
16 |
1 |
1 |
1 |
1 |
y2 |
10 |
6 |
5 |
4 |
3 |
y3 |
100 |
4 |
6 |
10 |
13 |
Решение является допустимым, если в симплекс- таблице в столбце свободных членов все значения, относящиеся к базисным переменным (y1 y2 y3), являются не отрицательными; оптимальное решение связано с минимумом или с максимумом целевой функции F, определяется по двум признакам : а) целевая функция имеет минимальное значение, если решение является допустимым (т.е свободные члены являются не отрицательными ) и все элементы в строке целевой функции (свободный член при этом не учитывается ) являются отрицательными; б) целевая функция при этом равняется свободному члену. Таким образом по таблице 4 можно сделать вывод, что нами получено оптимальное решение для случая минимизации целевой функции (действительно, если x1+x2+x3+x4 =0, значит, никакая продукция не выпускается и прибыль F=0).
Признак максимизации целевой функции формируется следующим образом: целевая функция имеет максимальное значение, если решение является допустимым и все элементы в строке целевой функции ( свободный член не рассматривается) являются положительными. Т.к таблица 4 не удовлетворяет данному признаку, то необходимо перейти к другой вершине . Каждый переход от одной вершине к другой, называемой итерацией , состоит в том , что базисная переменная приравнивается к нулю (т.е переходит в свободную ), а одна свободная переменная переводится в базисную. На каждой итерации проверяется условие выполнения признаков допустимого и оптимального решений (подобная процедура длится до тех пор, пока не будут удовлетворены оба признака).
Применительно к нашей задаче симплекс- таблица, полученная после второй итерации, приобретет вид таблицы 5, из которой видно, что в столбце свободных членов все элементы положительные, следовательно, решение является допустимым. В строке целевой функции все элементы также положительные, следовательно, это решение является оптимальным при максимизации целевой функции . При этом оптимальным планом является x1 =10, x3=6 (базисные) x2=x4=0 (свободные); F=1320.
Таблица 5 Симплекс-таблица после второй итерации
величина |
свободный член |
Вид продукции | |||
y1 |
x2 |
y3 |
x4 | ||
F |
1320 |
20 |
10 |
10 |
20 |
x1 |
10 |
5/3 |
2/3 |
-1/6 |
-1/2 |
x2 |
26 |
-23/3 |
-1/3 |
1/3 |
0 |
x3 |
6 |
-2/3 |
1/3 |
1/6 |
3/2 |