2.4. Задачи линейного программирования в оперативном управлении производством и принятии решений.

Так как любое предприятие функционирует в организационно – деловой среде, оперативно решая сложные повседневные проблемы в соответствии с поставленными целями и возникающими ситуациями, с бесперебойным обеспечением ресурсами производственного процесса, то задачи , присущие динамике оперативного управления производством, решаются обычно на основе математических моделей, аналогичных рассмотренным ранее для целей оптимального планирования.

Пример: Пусть предприятием выпускается продукция четырех видов П1-П4 с использованием для этого ресурсов, виды и нормы расхода по которым, а также уровень получаемой от их реализации прибыли приведен в таблице 3. Необходимо получить вариант оптимального плана производства по критерию максимума прибыли.

Таблица 3 Исходные данные задачи плана производства.

Элемент модели	Вид продукции				Располагаемый ресурс
	П1	П2	П3	П4
Ресурсы: трудовые	1	1	1	1	16
сырье	6	5	4	3	110
оборудование	4	6	10	13	100
Прибыль с единицы продукции плана	60	70	120	130
План	x1	x2	x3	x4

Решение: Математическая модель может быть записана в следующем виде:

F= 60x₁ + 70x₂ + 120x₃ + 130x₄ → max;

x₁+x₂+x₃+x₄ ≤ 16;

6x₁+5x₂+4x₃+3x₄≤ 110

4x₁+6x₂+10x₃+13x₄≤100

x_j≥0; j=1,4

При решении данной системы неравенств на ЭВМ получим следующий оптимальный план производства видов продукции : x₁= 10 ; x₂= 0; x₃ =4 ; при этом величина прибыли составляет F=1320.

Рассмотрим типовые примеры нахождения решения данной (и всех подобных) задач.

Переменные x₁ x₂ x₃ ...., называются основными. Если от данной системы неравенств перейти к системе уравнений, то в каждое неравенство необходимо добавить по одной дополнительной переменной yi, i=1,m.

Т.е система примет вид:

F= 60x₁ + 70x₂ + 120x₃ + 130x₄ → max;

x₁+x₂+x₃+x₄₊ y₁ =16

6x₁+5x₂+4x₃+3x₄ + y₂ =110;

4x₁+6x₂+10x₃+13x₄+y₃ = 100;

x_j≥0; j=1,4; yi ≥ 0, i= 1,3

Перепишем систему уравнений в следующем виде:

F=0 – ( - 60x₁ – 70x₂ – 120x₃- 130x₄) → max;

y₁= 16-(x₁+x₂+x₃+x₄);

y₂= 110-(6x₁+5x₂+4x₃+3x₄ );

y₃=100 – (4x₁+6x₂+10x₃+13x₄ ) ;

x_j≥0

Эту систему можно представить в виде симплекс – таблицы (табл 4), составляемой следующим образом: целевую функцию и базисные переменные, находящиеся в уравнениях слева, запишем в первый столбец таблицы ; свободные переменные, заключенные в скобки, вынесем в первую строку таблицы, а в остальные столбцы запишем свободные члены и коэффициенты перед свободными переменными (симплекс – таблицы служат основой для решения задач линейного программирования). В этой таблице переменные являющиеся свободными ( x₁x₂x₃x₄) равны нулю ( по определению свободных переменных). Тогда базисные переменные (y₁ y₂ y₃), а также целевая функция F равны свободным членам , т.е y₁= 16, y₂= 110, y₃=100, F=0.

Таблица 4 Симплекс таблица

величина	свободный член	Вид продукции
		x1	x2	x3	x4
F	0	-60	-70	-120	-130
y1	16	1	1	1	1
y2	10	6	5	4	3
y3	100	4	6	10	13

Решение является допустимым, если в симплекс- таблице в столбце свободных членов все значения, относящиеся к базисным переменным (y₁ y₂ y₃), являются не отрицательными; оптимальное решение связано с минимумом или с максимумом целевой функции F, определяется по двум признакам : а) целевая функция имеет минимальное значение, если решение является допустимым (т.е свободные члены являются не отрицательными ) и все элементы в строке целевой функции (свободный член при этом не учитывается ) являются отрицательными; б) целевая функция при этом равняется свободному члену. Таким образом по таблице 4 можно сделать вывод, что нами получено оптимальное решение для случая минимизации целевой функции (действительно, если x₁+x₂+x₃+x₄ =0, значит, никакая продукция не выпускается и прибыль F=0).

Признак максимизации целевой функции формируется следующим образом: целевая функция имеет максимальное значение, если решение является допустимым и все элементы в строке целевой функции ( свободный член не рассматривается) являются положительными. Т.к таблица 4 не удовлетворяет данному признаку, то необходимо перейти к другой вершине . Каждый переход от одной вершине к другой, называемой итерацией , состоит в том , что базисная переменная приравнивается к нулю (т.е переходит в свободную ), а одна свободная переменная переводится в базисную. На каждой итерации проверяется условие выполнения признаков допустимого и оптимального решений (подобная процедура длится до тех пор, пока не будут удовлетворены оба признака).

Применительно к нашей задаче симплекс- таблица, полученная после второй итерации, приобретет вид таблицы 5, из которой видно, что в столбце свободных членов все элементы положительные, следовательно, решение является допустимым. В строке целевой функции все элементы также положительные, следовательно, это решение является оптимальным при максимизации целевой функции . При этом оптимальным планом является x₁ =10, x₃=6 (базисные) x₂=x₄=0 (свободные); F=1320.

Таблица 5 Симплекс-таблица после второй итерации

величина	свободный член	Вид продукции
		y1	x2	y3	x4
F	1320	20	10	10	20
x1	10	5/3	2/3	-1/6	-1/2
x2	26	-23/3	-1/3	1/3	0
x3	6	-2/3	1/3	1/6	3/2