Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
2202 сфо 4 курс / учебные пособия / теория систем и системный анализ.doc
Скачиваний:
167
Добавлен:
20.04.2015
Размер:
785.92 Кб
Скачать

2.4. Задачи линейного программирования в оперативном управлении производством и принятии решений.

Так как любое предприятие функционирует в организационно – деловой среде, оперативно решая сложные повседневные проблемы в соответствии с поставленными целями и возникающими ситуациями, с бесперебойным обеспечением ресурсами производственного процесса, то задачи , присущие динамике оперативного управления производством, решаются обычно на основе математических моделей, аналогичных рассмотренным ранее для целей оптимального планирования.

Пример: Пусть предприятием выпускается продукция четырех видов П1-П4 с использованием для этого ресурсов, виды и нормы расхода по которым, а также уровень получаемой от их реализации прибыли приведен в таблице 3. Необходимо получить вариант оптимального плана производства по критерию максимума прибыли.

Таблица 3 Исходные данные задачи плана производства.

Элемент модели

Вид продукции

Располагаемый ресурс

П1

П2

П3

П4

Ресурсы: трудовые

1

1

1

1

16

сырье

6

5

4

3

110

оборудование

4

6

10

13

100

Прибыль с единицы продукции плана

60

70

120

130

 

План

x1

x2

x3

x4

 

Решение: Математическая модель может быть записана в следующем виде:

F= 60x1 + 70x2 + 120x3 + 130x4 → max;

x1+x2+x3+x4 ≤ 16;

6x1+5x2+4x3+3x4≤ 110

4x1+6x2+10x3+13x4≤100

xj≥0; j=1,4

При решении данной системы неравенств на ЭВМ получим следующий оптимальный план производства видов продукции : x1= 10 ; x2= 0; x3 =4 ; при этом величина прибыли составляет F=1320.

Рассмотрим типовые примеры нахождения решения данной (и всех подобных) задач.

Переменные x1 x2 x3 ...., называются основными. Если от данной системы неравенств перейти к системе уравнений, то в каждое неравенство необходимо добавить по одной дополнительной переменной yi, i=1,m.

Т.е система примет вид:

F= 60x1 + 70x2 + 120x3 + 130x4 → max;

x1+x2+x3+x4+ y1 =16

6x1+5x2+4x3+3x4 + y2 =110;

4x1+6x2+10x3+13x4+y3 = 100;

xj≥0; j=1,4; yi ≥ 0, i= 1,3

Перепишем систему уравнений в следующем виде:

F=0 – ( - 60x1 – 70x2 – 120x3- 130x4) → max;

y1= 16-(x1+x2+x3+x4);

y2= 110-(6x1+5x2+4x3+3x4 );

y3=100 – (4x1+6x2+10x3+13x4 ) ;

xj≥0

Эту систему можно представить в виде симплекс – таблицы (табл 4), составляемой следующим образом: целевую функцию и базисные переменные, находящиеся в уравнениях слева, запишем в первый столбец таблицы ; свободные переменные, заключенные в скобки, вынесем в первую строку таблицы, а в остальные столбцы запишем свободные члены и коэффициенты перед свободными переменными (симплекс – таблицы служат основой для решения задач линейного программирования). В этой таблице переменные являющиеся свободными ( x1x2x3x4) равны нулю ( по определению свободных переменных). Тогда базисные переменные (y1 y2 y3), а также целевая функция F равны свободным членам , т.е y1= 16, y2= 110, y3=100, F=0.

Таблица 4 Симплекс таблица

величина

свободный член

Вид продукции

x1

x2

x3

x4

F

0

-60

-70

-120

-130

y1

16

1

1

1

1

y2

10

6

5

4

3

y3

100

4

6

10

13

Решение является допустимым, если в симплекс- таблице в столбце свободных членов все значения, относящиеся к базисным переменным (y1 y2 y3), являются не отрицательными; оптимальное решение связано с минимумом или с максимумом целевой функции F, определяется по двум признакам : а) целевая функция имеет минимальное значение, если решение является допустимым (т.е свободные члены являются не отрицательными ) и все элементы в строке целевой функции (свободный член при этом не учитывается ) являются отрицательными; б) целевая функция при этом равняется свободному члену. Таким образом по таблице 4 можно сделать вывод, что нами получено оптимальное решение для случая минимизации целевой функции (действительно, если x1+x2+x3+x4 =0, значит, никакая продукция не выпускается и прибыль F=0).

Признак максимизации целевой функции формируется следующим образом: целевая функция имеет максимальное значение, если решение является допустимым и все элементы в строке целевой функции ( свободный член не рассматривается) являются положительными. Т.к таблица 4 не удовлетворяет данному признаку, то необходимо перейти к другой вершине . Каждый переход от одной вершине к другой, называемой итерацией , состоит в том , что базисная переменная приравнивается к нулю (т.е переходит в свободную ), а одна свободная переменная переводится в базисную. На каждой итерации проверяется условие выполнения признаков допустимого и оптимального решений (подобная процедура длится до тех пор, пока не будут удовлетворены оба признака).

Применительно к нашей задаче симплекс- таблица, полученная после второй итерации, приобретет вид таблицы 5, из которой видно, что в столбце свободных членов все элементы положительные, следовательно, решение является допустимым. В строке целевой функции все элементы также положительные, следовательно, это решение является оптимальным при максимизации целевой функции . При этом оптимальным планом является x1 =10, x3=6 (базисные) x2=x4=0 (свободные); F=1320.

Таблица 5 Симплекс-таблица после второй итерации

величина

свободный член

Вид продукции

y1

x2

y3

x4

F

1320

20

10

10

20

x1

10

5/3

2/3

-1/6

-1/2

x2

26

-23/3

-1/3

1/3

0

x3

6

-2/3

1/3

1/6

3/2