2.3. Методы многопараметрической оптимизации в процессах планирования, управления и принятия решений.

Любой вид производства или сферу деятельности можно охарактеризовать двумя основными параметрами:

Объемом выпуска продукции Об, определяемым различными показателями (валовой, реализованной, чистой нормативной продукцией и др. или просто в рублях) и ее качеством К. На практике обычно стремятся к увеличению как выпуска продукции, так и к повышению ее качества, то есть переходят к решению многопараметрических задач.

Для решения подобных задач обычно применяется метод последовательных уступок, суть которого заключается в том, что один из оптимизируемых параметров принимается в качестве целевой функции , а для других задаются некоторые предельные значения граничных условий.

В задачах многопараметрической оптимизации, как и в задачах распределения ресурсов, возможны две постановки: а) максимизация объемов при обеспечении качества не ниже заданного значения; б) максимизация качества при обеспечении объемов не меньше заданного значения. В общем виде эти постановки задач можно записать следующим образом:

Первая постановка Об = f(к₃): Вторая постановка K=f (Об₃):

_{n n}

Об =∑ c_j x_j → max K = ∑ S_j x_j → max _;

^{j=1 j=1}

_{n n}

K = ∑ S_j x_j ≥ K₃ ; Об = ∑ c_j x_j ≥ Об₃

^{j=1 j=1}

_{n n}

∑ a_ij x_j ≤ b_i ∑ a_ij x_j ≤ b_i;

^j=1 ___ ___ ^j=1 ___ ___

d_j ≤ x_j ≤ D_{j ;} j = 1, n ; i = 1, m d_j ≤ x_j ≤ D_{j ;} j = 1, n ; i = 1, m

Вряде ситуаций при использовании методов многопараметрической оптимизации исходят из относительной важности , или значимости , каждого оптимизированного параметра, при этом наиболее часто пользуются назначениемкоэффициентов веса.

Пример: Пусть требуется из четырех вариантов системы, характеризуемой параметрами: производительностью Q и стоимостью С (руб) , приведенными в таблице 1, выбрать наилучший вариант, по интегральному критерию.

Таблица 1. Исходные данные для выбора лучшего варианта системы.

Параметры системы	Вариант системы
	1	2	3	4
Q, штук в минуту	20	30	60	50
C, руб	100	400	500	200

Решение: Интегральный критерий должен обеспечивать операции с параметрами и учет относительной важности каждого параметра с помощью коэффициентов веса. Улучшение желательных параметров должно увеличивать значение критерия, а рост нежелательных параметров – снижать его значения. В качестве критерия можно принять целевую функцию, которая может быть записана следующим образом:

_{Qi Ci}

K_i = a₁ ×— - a₂ × — , где a_1, a_{2 –} коэффициент веса;

^{Qh Ch}

Q_h и С_h – нормирующие значения производительности Q и стоимости C системы.

Таким образом, критерий Ki увеличивается при повышении производительности и уменьшении стоимости сравниваемых вариантов. Следовательно лучшим является вариант, для которого значение K будет наибольшим, т.е max K = max {K₁, K₂, K₃, K₄}.

Для определения критерия в качестве нормирующих значений принимаем: Q_h = Q_max = 60;

C_h = C_max = 500. Определим значение критерия Ki для трех основных ситуаций, при которых а) важна лишь производительность (a₁=1, a₂=0); б) производительность и стоимость одинаково важны (a₁= 0,5, a₂=0,5) в) важна лишь стоимость (a₁= 0, a₂=1) .

Значения K_i применимые к выделенным ситуациям и четырем сравниваемым вариантам системы, приведены в таблице 2, откуда следует, что наибольшее значение критерия зависит не только от параметров вариантов, но и от принятых коэффициентов веса.

Таблица 2. Решение примера при трёх случаях.

Ситуация	весовые коэффициенты		Варианты систем
	a1	a2	1	2	3	4
1	1	0	0,33	0,5	1	0,83
2	0,5	0,5	0,666	-0,15	0	0,22
3	0	1	-0,2	-0,8	-1	-0,4

Для ситуации 1 лучшим оказывается вариант 3, для ситуации 2-вариант 1, для ситуации 3 – вариант 1 (вариант 2 в каждой из трех рассмотренных ситуаций будет худшим).

Таким образом, вариант, выбранный как лучший, является им лишь в смысле принятого критерия при заданных нормирующих значениях параметров и назначенных коэффициентах веса. При изменении критерия, значений нормирующих элементов или коэффициентов веса лучшими могут оказаться другие варианты.