ГлаваIi. Математические модели оптимизации ресурсов и принятия решений.

2.1. Общий случай математической постановки задачи оптимизации.

Задача оптимизации в общем случае, включающая три компоненты ( целевую функцию F, ограничение g_i

и граничные условия), имеет следующую математическую постановку.

F=f(x₁,x₂,...,x_n)→max (min)

g₁(x₁,x₂,...,x_n) {≤ , =, ≥}d₁ ;

........................................ или F=f(x_j ) →max (min)

g₁(x₁,x₂,...,x_n) {≤ , =, ≥}di ; g_i (x_j) {≤,= , ≥}d_i

a_j ≤ x_j ≤ b_{j ;} i = 1,m, j=1,n

........................................

g_m(x₁,x₂,...,x_n) {≤ , =, ≥}d_m ;

a_j ≤ x_j ≤ b_j ; i= 1,m, j = 1,n,

где a_j и b_j – нижнее и верхнее предельно допустимые значения x_j

Граничные условия показывают предельно допустимые значения искомых переменных, и в общем случае они могут быть двухсторонними типа aj ≤ xj ≤ bj .

Ограничения обычно выражают определенные зависимости между переменными величинами, которые по своей сути могут быть теоретическими (формульными) и статистическими. Теоретические справедливы при любых условиях. На практике же приходиться сталкиваться с необходимостью сбора и обработки статистических данных. Например, при желании оптимизировать использование общественного транспорта города в течении суток. При этом надо знать как распределен пассажиропоток во времени.

Значения переменных, удовлетворяющие заданным граничным условиям и ограничениям, называют допустимым решением задачи.

Если в задачу включаются противоречивые по смыслу требования, выполнить которые невозможно то задачу считают несовместной. Правильно же составленная задача имеет набор допустимых решений. Чтобы из данного набора допустимых решений ЛПР могло выбрать одно оптимальное (от латинского optimus – наилучший ), необходимо договориться как и по какому признаку его найти. ЛПР должно абсолютно точно представлять, в чем заключается оптимальность принимаемого решения , т.е по какому критерию принимаемое решение должно быть оптимально.

Критерий часто называют целевой функцией, функцией цели, а в математических работах – функционалом. Если при принятии решения максимизировать какое – то свойство (прибыль, производительность и т.п.), то в результате решения задачи критерий будет иметь наибольшее значение из всех допустимых решений. Если же требуется минимизировать (стоимость, расход материала, время простоя оборудования ), то в результате решения критерий будет иметь наименьшее значение из всех допустимых.

2.2. Методы оптимизации и распределения ресурсов на основе задач линейного программирования.

Подобные методы широко применимы в производстве, транспорте, организации процессов, в обучении, руководстве персоналом и др. К числу наиболее известных задач, решаемых этим методом, относятся задача о назначениях, транспортная задача и другие.

Задача о назначениях и распределении работ является частным случаем транспортной задачи,

В которой приняты следующие допущения : число поставщиков m равно числу потребителей n; запасы каждого поставщика a_j = 1 ; заявки каждого потребителя b_j= 1 ; каждый поставщик может поставлять грузы только одному потребителю; каждый потребитель может получать груз только от одного поставщика.

Если сумма запасов A у поставщика равняется сумме всех заявок B потребителей, то такую транспортную задачу называют сбалансированной ; если A ≠ B , то задача является несбалансированной, и ее математическая модель может иметь вид:

_{m n}

F= ∑ ∑ c_ij x_ij → min

^{i=1 j=1}

_{n ____}

∑ x_ij ≤ a_{j ; j} = 1,m;

ⁱ⁼¹

_{m ____}

∑ x_ij ≥ b_{j ;} ; i= 1,n

^j=1

x_ij ≥0;

Знак равенства в ограничениях для запасов a_j означает, что объем груза, вывозимый от любого

i-го поставщика по заявкам всех потребителей, не может превышать имеющегося у него запаса, при этом часть запаса груза может оставаться не вывезенной . Аналогично знак неравенства в ограничениях для заявок b_j означает, что груз, получаемый j– м поставщиком, должен быть не меньше заявки, но превышение заявки при этом допускается.

Модель сбалансированной задачи является частным случаем модели несбалансированной задачи.