4.3. Биматричные игры.

Предыдущие рассмотрения касались игр двух лиц, в которых интересы игроков были прямо противоположны, а также позиционных игр, сводимых к матричным. Однако ситуации, в которых интересы игроков хотя и не совпадают, но уже не обязательно являются противоположными, встречаются значительно чаще.

Рассмотрим, например, конфликтную ситуацию, в которой каждый из двух участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения:

игрок А – может выбрать любую из стратегий А₁,…,А_m,

игрок В – любую из стратегий В₁,…,В_n.

При этом их совместный выбор оценивается вполне определённо: если игрок А выбрал i-ю стратегию А_i, а игрок В – k-ю стратегию В_k, то в итоге выигрыш игрока А будет равен некоторому числу a_ik, а выигрыш игрока В некоторому, вообще говоря, другому числу b_ik.

Последовательно перебирая все стратегии игрока А и все стратегии игрока В, мы сможем заполнить их выигрышами две таблицы

Первая из таблиц описывает выигрыш игрока А, а вторая – выигрыш игрока В. Обычно эти таблицы записывают в виде матрицы

А = , В =

Здесь А – платёжная матрица игрока А,

В – платёжная матрица игрока В.

Таким образом, в случае, когда интересы игроков различны (но не обязательно противоположны) получаются две платёжные матрицы: одна – матрица выплат игроку А, другая – матрица выплат игроку В. Поэтому совершенно естественно звучит название, которое обычно присваивается подобной игре – биматричная.

Пример1: «Студент – Преподаватель».

Студент (игрок А) готовится к зачету, который принимает Преподаватель (игрок В). Можно считать, что у студента две стратегии – подготовится к сдаче зачёта (+) и не подготовится (-). У Преподавателя также две стратегии – поставить зачёт [+] и не поставить [-].

Тогда

Количественно это можно выразить, например, так

Вследствие того, что в биматричных играх интересы игроков не совпадают, необходимо построить такое решение, которое бы в том или ином, но в одинаковом смысле удовлетворяло обоих игроков.

Рассмотрим случай когда у игроков имеется ровно две стратегии, т.е. m=n=2.

В 22 биматричной игре платёжные матрицы игроков имеют следующий вид

А = В =

Вероятности р₁=р, р₂=1-р, q₁=q, q₂=1-q, а средние выигрыши вычисляются по формулам

H_a(p,q) = a₁₁p q+ a₁₂ p(1- q) + a₂₁(1-p)q + a₂₂(1-p)(1-q),

H_b(p, q) = b₁₁pq + b₁₂ p(1-q) + b₂₁(1-p)q + b₂₂(1-p)(1-q), где 0  p  1, 0  q  1,

Пара чисел (p*, q*), o ≤ p * ≤ 1, o ≤ q* ≤ 1, p и q, подчиненных условиям o ≤ p * ≤ 1, o≤q*≤1, одновременно выполнены следующие неравенства H_A (p, q* ) ≤ H_A (p*, q*). ()

T: всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию (точку равновесия) в смешанных стратегиях.

Задание смешанной стратегии игрока состоит в указании тех вероятностей, с которыми выбираются его первоначальные стратегии.

Если некоторая пара чисел (p*,q*) претендуют на то, чтобы определить ситуацию равновесия, то необходимо проверить справедливость неравенств (). Для этого воспользуемся теоремой:

T: Выполнение неравенств () равносильно выполнению неравенств

H_A (o, q* ) ≤ H_A (p*,q*), H_B (p*, o ) ≤ H_B (p*, q*), _()

H_A (1, q* ) ≤ H_A (p*, q*), H_B (p*, 1 ) ≤ H_B (p*, q*).

Запишем средние выигрыши игроков А и В в более удобной форме. Имеем

H_A (p, q) = (a₁₁ - a₁₂ - a₂₁ + a₂₂ ) pq + (a₁₁ - a₂₂)p + (a₂₁ - a₂₂ )q + a₂₂

H_B (p, q) = (b₁₁ - b₁₂ - b₂₁ + b₂₂ ) pq + (b₁₁ - b₂₂)p + (b₂₁ - b₂₂ )q + b₂₂

Обратимся к первой формуле. Пологая p = 1, а потом p = 0, получаем, что

H_A (1, q) = (a₁₁ - a₁₂ - a₂₁ + a₂₂ ) q + a₁₂ + (a₂₁ - a₂₂ )q,

H_A (0, q) = (a₂₁ - a₂₂ )q + a₂₂

Рассмотрим разности

H_A (p, q) - H_A (1, q) = (a₁₁ - a₁₂ - a₂₁ + a₂₂ )pq + (a₁₂ - a₂₂)p –

– (a₁₁ - a₁₂ - a₂₁ + a₂₂)q + a₂₂ – a₁₂,

H_A (р, q) - H_A (0, q) = (a₁₁ - a₁₂ - a₂₁ + a₂₂)p q + (a₁₂ - a₂₂)p

Пологая C = a₁₁ - a₁₂ - a₂₁ + a₂₂, α = a₂₂- a₁₂, получим

H_A (p, q) - H_A (1, q) = Cpq – αp – C + α = (p – 1)(Cq - α)

H_A (p, q) - H_A (0, q) = Cpq – αp = p(Cq - α)

В случае, если пара (p, ) определяет точку равновесия, эти разности неотрицательны, поэтому

(p – 1)(Cq - α) ≥ 0, p(Cq - α) ≥ 0

Из формул для функции H_B (p, ) при  = 1,  = 0 соответственно имеем

H_B (p, 1) = (b₁₁ - b₁₂ - b₂₁ + b₂₂ )p + b₁₂ + (b₂₁ - b₂₂ )p + b₂₁,

H_B (p, 0) = (b₂₁ - b₂₂ )p + b₂₂

Разности H_B (p, q) - H_B (p, 1) и H_B (p, q) - H_B (p, - 0)

С учётом обозначений Д = b₁₁-b₁₂-b₂₁+b₂₂,  = b₂₂-b₂₁

Приводятся к виду H_b(p, q) = H_b(p, 1) = (q-1)( Д_p-),

H_b(p, ) = H_b(p, 0) = q(Д_p-).

И (q-1)(Д_p-)  0, q( Д_p-)  0

Итак, чтобы в биматричной игре

А = В = пара (p, q)

определяемая равновесную ситуацию, необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих неравенств

Пример1: «Студент – Преподаватель» (продолжение).

А = , В =

Проводя необходимые вычисления

С = 2+1-1+0 = 2, α = 0+1=1,

Д = 1+3+2-1 = 5, =-1+2 = 1,

и рассуждения (p-1) (2q-1) 0, (q-1)(5p-1) 0,

p(2q-1) 0, q(5p-1) 0,

получаем, что 1)p=1, q , 2) q=1, p  ,

p=0, q ≤, q=0, p ≤ ,

0<p<1, q =, 0<q<1, p = .

Число точек пересечения у зигзагов (равновесных ситуаций) равно трём. Две из них отвечают чистым стратегиям игроков,

p=1, q=1: H_a(1,1)=2, H_b(1,1)=1,

p=0, q=0: H_a(0,0)=0, H_b(0,0)=1,

Одна – смешанная,p= , q=: H_a( ; ) = , H_b( ; ) =

Наилучшим является выбор каждым из игроков первой чистой стратегии – хорошо подготовится к зачёту и поставить зачет.