Вопросы для самоконтроля по главе

1. Указать на разницу между понятиями экстремум и оптимум функции.

2. Дайте определение задачи безусловной оптимизации.

3. Дайте определение задачи условной оптимизации.

4. Каков алгоритм нахождения экстремума функций двух переменных.

5. В чем заключается суть метода штрафных функций.

Тест по главе

1) На каком рисунке представлен экстремум функции:

а) 1; б)1; в) 1) и 2);.

2. Если вторая производная функции в точке х* отрицательна, то функция в этой точке имеет….

а) максимум; б) минимум.

3) Найти F= -2(x₁ -3)² -1→ max

а) 3; б) 1; в)-3; г)-1.

4) Если в задаче условной оптимизации x_j не находится в области допустимых решений, то ограничения не выполняются и значит а) g_i(x_j) ≠ 0; б) g_i (x_j) = 0,

где g_i – ограничение.

5) Если ожидаемое оптимальное значение целевой функции порядка единицы, то число М можно принять равным:

а) 100, б)10, в) 1000, г) 1

Глава IV. Теоретико-игровые модели принятия решения.

В практической деятельности весьма часто приходится рассматривать явления и ситуации, в которых участвуют две или более стороны, имеющие различные интересы и обладающие возможностями применять для достижения своих целей разнообразные действия. Подобные явления и ситуации принято называть конфликтными, или просто конфликтами.

Типичный конфликт характеризуется тремя основными составляющими:

1) Заинтересованными сторонами.

2) Возможными действиями этих сторон.

3) Интересами сторон.

Конфликтная ситуация, взятая из реальной жизни, как правило, довольно сложна. К тому же и изучение, затруднено наличием многих разных обстоятельств, часть из которых не оказывает сколь-либо существенного влияния ни на развитие конфликта, ни на его исход. Поэтому для того, чтобы анализ конфликтной ситуации оказался возможным, необходимо отвлечение от этих второстепенных факторов, при удачном стечении обстоятельств позволяющее построить упрощенную формулированную модель конфликта, которую и принято называть игрой. От реальной конфликтной ситуации игра отличается ещё и тем, что ведётся по вполне определённым правилам.

Необходимость изучения и анализа конфликтов, представляемых в виде упрощенных математических моделей (игр), вызвала к жизни специальный математический аппарат.

4.1. Матричные игры.

Рассмотрим игру, в которой участвует два игрока (А и В). Предположим, что игрок А имеет m стратегий – А₁, А₂, …, А_m, а игрок В имеет n стратегий В₁, В₂, …, В_n.

Пусть игрок А выбрал стратегию А_i, а игрок В стратегию В_k. Будем считать, что выбор игроками стратегий А_i и В_k однозначно определяет исход игры – выигрыш a_ik игрока А и выигрыш b_ik игрока В, причём эти выигрыши связаны равенством.b_ik=-a_ik

Если нам известны значения a_ik выигрыша при каждой паре стратегий {A_i, B_k}, i=1,2, …, m, k=1,2, …,n, то их удобно записывать в виде прямоугольной таблицы

или в виде матрицы А=

Полученная матрица имеет размер mхn и называется матрицей игры, или платёжной матрицей.

Рассмотрим произвольную матричную игру

А=

Действия игрока А.

1-й шаг. В каждой строке матрицы А ищется минимальный элемент

a_i=min a_ik, i=1,2,…,m

Полученные числа α₁, α₂,…, α_m приписываются к заданной таблице в виде правого добавочного столбца

2-й шаг. Среди чисел α₁, α₂,… α_m выбирается максимальная α=maxd_i

Если игрок А будет придерживаться стратегии, выбранной описанным выше способом, то при любом поведении игрока В игроку А гарантирован выигрыш, не меньше α.

Число α Называют нижней ценой игры.

Принцип построения стратегии игрока А, основанный на максимизации минимальных выигрышей, называется принципом максимина, а выбираемая в соответствии с этим принципом стратегия – максиминной стратегией игрока А.

Действия игрока В.

1-й шаг. В каждом столбце матрицы А ищется максимальный элемент _k = max a_ik, k=1,2,…,n

Полученные числа ₁,₂,…,_n приписываются к заданной таблице в виде нижней добавочной строки

2-й шаг. Среди чисел ₁,₂,…,_n выбирается минимальное, т.е. =min_k

Если игрок В придерживается стратегии, выбранной описанным выше способом, то при любом поведении игрока А игроку В гарантирован проигрыш, не больший .

Число  называется верхней ценой игры.

Принцип построения стратегии игрока В, основанный на минимизации максимальных потерь, называется принципом минимакса, а выбираемая в соответствии с этим принципом стратегия – минимаксной стратегией игрока В.

Нижняя цена и верхняя всегда связаны равенством ≤.

Пример: Рассмотрим 33 игру, заданную матрицей

А =

Применив предложенный алгоритм, получим:

 = -2, соответствующая стратегия А₂

 = 2, соответствующая стратегия В₂

Если  = , или подробнее, max min a_ik = min max a_ik,

то ситуация {A_i, B_k} оказывается равновесной, и ни один из игроков не заинтересован в том, чтобы ее нарушить.

В том случае, когда нижняя цена игры равна верхней цене игры, их общее значение называется просто ценой игры и обозначается .

Цена игры совпадает с элементом a_ik матрицы игры, расположенным на пересечении i-той строки (стратегия A_i игрока А) и k-го столбца (стратегия B_k игрока В) – минимальным в своей строке и максимальным в своём столбце.

Этот элемент называют седловой точкой матрицы игры, или точкой равновесия, а про игру говорят, что она имеет седловую т очку.

Стратегии А_i и В_k соответствующие этой седловой точке, называются оптимальными, а совокупность оптимальных ситуаций и цена игры – решением матричной игры с седловой точкой.

Пока игроки придерживаются этих стратегий, средний выигрыш равен 1 (-2<1<2).

Однако если игроку В станет известно, что игрок А придерживается стратегии А₂, он немедленно ответит стратегией В₁ и сведёт его выигрыш к проигрышу – 2. В свою очередь, на стратегию В₁ у игрока А есть стратегия А₁, дающая ему выигрыш 4.

Для построения решений 2n и m2 игр существует эффективный метод, основанный на простых геометрических соображениях. Этот метод называют графическим. Рассмотрим его на примере:

Пример: Дана 26 игра, заданная матрицей

Решение: Составляем таблицу вида:

, где р – оптимальное значение.

На основе таблицы составим уравнения, графиками которых будут прямые:

(1): = 6р – 2(1 – р),

(2):  = 4р – (1 – р),

(3):  = 3р + 5(1 – р),

(4):  = р,

(5):  = -р + 5(1 – р),

(6):  = 4(1 – р).

т. С является наивысшей точкой огибающей, точкой пересечения прямых (5) и (4), т.е.

Тем самым цена игры= , а оптимальная стратегия

р = {p, 1- p} = { ; }.