4. Зоны энергии
Электрон в твёрдом теле заведомо находится в связанном состоянии, согласно общим положениям квантовой теории его энергия должна квантоваться, то есть собственные значения гамильтониана должны быть дискретны. Мы увидим сейчас, как она квантуется. Напишем гамильтониан:
Потенциальная энергия выглядит, конечно, сложным образом: это потенциальные ямы в окрестности атомов, и её не только ядра создают, там и все электроны. Выражение для гамильтониана задать очень сложно, надо учитывать взаимодействие электронов между собой, взаимодействия с ядрами, взаимодействие ядер между собой…, но нам это не важно, нам важно одно – эта функция периодическая. Напишем уравнение на собственные значения гамильтониана, где функция имеет такой вид :
или
Для каждого
имеются значения
,
при которых это уравнение имеет решение,
и тогда каждому
будут соответствовать собственные
функции
.
Таким образом, стационарные состояния
электронов в металле задаются двумя
переменными вектором
и числом n, им отвечает
функция
и энергия
.
Напишем окончательно так:
В
от
главный результат от всей этой науки,
и всё это добыто как следствие
трансляционной инвариантности решётки
(вся физика переходит в себя при сдвигах
с определённым вектором
).
Что мы получаем? Вот у нас энергетическая
шкала E, возможные
значения энергии определяются величинами
.
Фиксируем n, получаем
какую-то функцию от
,
которая имеет минимальное значение и
максимальное. n =
2, мы опять имеем полосу энергий, при
каком-то значении
она минимальна, при каком-то значении
она максимальна. И в результате мы
получаем, что энергия электронов в
металле может лежать в пределах, так
называемых, энергетических зон.
Для малых значений n эти зоны не перекрываются, но при больших значениях n они начинают перекрываться. Ещё более детальный анализ показывает, что имеются уровни энергий для электрона в атоме, когда эти атомы построятся в решётку, то эти уровни энергий расщепляются на зоны (рис. 4.2). Число уровней, на которые расщепляется начальный, равно 2N, где N – число атомов.
Ч
тоб
с этим кончить, какие значения принимает
вектор
?
В прошлый раз мы обсуждали понятие
обратной решётки, вектор
имеет размерность обратной длины, значит
вектор
это вектор, принадлежащий обратной
решётке. Все значения вектора
в пределах элементарной ячейки отвечают
определённым состоянию, если мы переходим
в соседнюю ячейку, то там все состояния
повторяются. Поэтому, если
– трансляционный вектор обратной
решётки, то выполняются условия:
,
.
5. Уравнения движения электронов в твёрдом теле
Функция
определяет стационарное состояние в
твёрдом теле. Для частицы в вакууме
функция
определяет состояние с импульсом
.
Такая функция
для электронов в твёрдом теле определяет
состояние, величина
называется квазиимпульсом. Настоящий
импульс электрона в металле меняется
сложным образом. Для частицы в пустоте
из волновых функций
можно соорудить волновой пакет, и этот
пакет будет иметь групповую скорость
.
Для частицы в пустоте в состоянии
энергия
,
и
.
Для электрона в твёрдом теле
определяет энергию электрона в состоянии
,
скорость волнового пакета, который
можно построить для электрона будет
определяться по аналогии
эта формула определяет скорость электрона
в твёрдом теле. Тогда уравнение движения
электрона в твёрдом теле, оказывается,
имеет такой вид:
где
– напряжённость и индукция внешнего
электромагнитного поля.
- это сила Лоренца,
квазиимпульс меняется, как импульс
свободной частицы, под действием этой
самой силы Лоренца. Импульс электрона
должен был бы чувствовать все
микроскопические поля, волновой пакет,
представляющий электрон в твёрдом теле,
сквозит через кристаллическую решётку,
не чувствуя никаких локальных полей.
Но это только для правильной решётки.