§ 4. Законы излучения абсолютно черного тела и их применение

Указанные выше характерные особенности зависимости испуска­тельной способности абсолютно черного тела от длины волны и тем­пературы были обобщены в двух законах, наименование которых свя­зано с фамилиями ученых, экспериментально и теоретически и исследовавших эти явления.

Закон Стефана — Больцмана.Интегральная энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой сте­пени его температуры:

(16)

В этом равенстве постоянная величина определена из данных опы­та. Она равна 5,7•10^-8Вт/(м²-К⁴). Следует отметить, что закон Стефана — Больцмана неприменим к телам, которые не являются аб­солютно черными. Для таких тел значениес ростом температуры не будет оставаться постоянным, и трудно аппроксимировать экспе­риментальные кривые указанной зависимостьюT⁴. Заметим, что энер­гетическая светимость нечерных тел всегда меньше энергетической све­тимости абсолютного черного тела при данной температуре.

Законсмещения Вина.Произведение длины волнысоот­ветствующей максимуму излучения, и температуры абсолютно чер­ного тела остается постоянным при изменении его температуры:

(17)

Постоянная величина b =0,2886 см • К , определена из опытных дан­ных.

Согласно закону (16), значениебудет уменьшаться с ростом температуры. Следовательно, должно иметь место смещение макси­мума кривойв сторону коротких длин волн. Эту особенность аб­солютно черного тела иллюстрирует рис.7, на котором изображены спектральные зависимости для двух значений температуры черного тела, отличающихся в два раза. Заметим, что кривые на этом рисунке построены для температур 3000 К (/) и 6000 К(II),примерно соответ­ствующих температуре нити мощной лампы накаливания (/) и Солнца(//).При повышении в два раза температуры излучателя максимум излучения переместился из инфракрасной области в оптимальную для визуального наблюдения зеленую часть видимого спектра , где, как известно, чувствительность глаза наибольшая. Площадь кри­вой, характеризующая интегральную энергетическую светимость, при повышении в два раза температуры возросла в 16 раз.

Закон смещения (так же как закон Стефана — Больцмана) применим лишь к абсолютно черным телам. Однако для некоторых нечерных тел отклонение максимума кривой отизмеренного при этой же температуре черного тела, оказывается относительно небольшим. Этим обстоятельством пользуются для измерения температуры некоторых нечерных тел.

§ 5. Закон рэлея-джинса

5.1.Подход Рэлея к изучению теплового излучения. При рассмотрении теплового равновесия тела с излучением, подход к изучению теплового излучения был термодинамическим. Рэлей в отличие от своих предшественников впервые применил методы статистической физики к явлениям тепло­вого излучения. Равновесное электромагнитное излучение, находя­щееся в замкнутой полости с постоянной температурой стенок, рас­сматривалось им как система стоячих волн разных частот, распро­страняющихся во всевозможных направлениях. Частоты образо­вавшихся стоячих волн должны удовлетворять тем же условиям, что и частоты стоячих упругих волн в стержне. При колебаниях упругого стержня на его закрепленных концах образуются узлы смещения и на длине стержня Lукладывается целое число полуволн:

L= m(/2) (18)

Так как = v/,то из (18) для набора собственных частот полу­чаем

=m(v/2L) (19)

где v —скорость распространения волны.

По Рэлею, число собственных частот, укладывающихся в интер­вале (, +d),пропорционально объему полостиV, квадрату частоты и ширине интервала, т. е. dN ~ V²d.Пользуясь законом равномерного распределения энергии равновесной системы по сте­пеням свободы и учитывая, что на каждую колебательную степень свободы в классической физике приходится энергия, равная kT (1/2·kTна кинетическую, 1/2·kTна потенциальную), Рэлей получил следующее выражение для излучательной способности абсолютно черного тела:

где k— постоянная Больцмана.

5.2. Формула Рэлея—Джинса.Используя идею Рэлея, Джинcпровел точные вычисления и, определив коэффициенты пропорциональности, нашел, что

(20)

Согласно формуле (15) §4, отсюда получим

(21)

(20) и (21) получили название -формулы Рэлея-Джинса.

Надо заметить, что формулы Рэлея-Джинса легко получить по закону равнораспределе­ния кинетической энергии по степеням свободы, являющемуся одним из фундаментальных соотношений классической физики, на каждую степень свободы исследуемой системы приходится kT/2. Осциллятор имеет кинетическую и потенциальную энергию и можно считать

(22)

Следовательно, его средняя энергия <E> =kT, гдеk— постоян­ная Больцмана (k = 1,38·10^-16эрг/К), аТ— температура внутри полости.

Напомним, что этот результат сразу получается из применения теоремы Больцмана для вычисления среднего значения интересующей нас величины — энергии осциллятора. Для этого необходимо просум­мировать по всем непрерывно изменяющимся значениям энергии Е её произведение на относительную вероятность () того, что в равновесии встретится состояние, характеризуемое этим значением энер­гии, и отнести этот интеграл к нормирующему множителю, получаю­щемуся при суммировании относительной вероятности по всем значе­ниям непрерывно изменяющегося значения Е:

(23)

В результате вычисления интегралов в (23) легко получается, что <E> =kT.

5.3. «Ультрафиолетовая катастрофа».Как показал опыт, формула Рэлея-Джинса согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно малых частот и больших температур (см.рис.8). Кроме того, оказалось что попытка получить закон Стефана-Больцмана из формулы Рэлея-Джинса приводит к абсурду (образно названному П. Эренфестом «ультрафиолетовой катастрофой»). В самом деле,

(24)

Равенство полновесной плотности энергии означает, что равновесие между телом и его излучением устанавливается только при температуре тел, равной абсолютному нулю. Это противоречит опытным данным, так как тела находятся в равновесии с излучением при произвольной, отличной от нуля температуре.

Эти расхождения теории эксперимента, явились серьезным предостережением, далеко выходящим за рамки задачи о построении универсальной функции

Смысл общего вывода заключается в том, что вся классическая физика имеет определенные границы применимости и использование ее законов и методов вне этих границ приводит к противоречию с опытом, яв­ляющимся основным критерием правильности той или иной теории.

Что касается конкретной задачи о согласовании теории равновес­ного теплового излучения и эксперимента, то тут создалась ситуация, которая хорошо характеризуется образным высказыванием знаме­нитого физика Лоренца: «Уравне­ния классической физики оказались неспособными объяснить, почему угасающая печь не испускает желтых лучей наряду с излучением больших длин волн…»