!Оптика и квантовая механика / Лекции / Лекции неизвестного авторства / набитые лекции / Лекция 17

Лекция №17.

Квантование энергии в полях, которые зависят от одной координаты.

Бесконечно глубокая потенциальная яма.

Найдем собственные значения энергии и соответствующие им собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси х. Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками и . Потенциальная энергия в таком случае имеет следующий вид:

Рассмотрим отдельно области I, II, III. В областях II и III уравнение Шредингера выглядит следующим образом:

Из курса дифференциальных уравнений известно, что решение следует искать в виде:

.

Для зоны II соответственно:

,

где из условия нормировки следует, что , поскольку при , (для зоны II ), и при отличном от нуля - функция не будет нормирована, ее площадь будет уходить в бесконечность. Значит

,

где , поскольку , и .

В области II убывает с уменьшением х тем быстрее, чем больше . При , и получается, что частица не может находиться в области II, т.к. в области II, а - вероятность нахождения частицы.

Аналогично в области III.

Итак, за пределами бесконечно глубокой потенциальной ямы частица находиться не может (это нереальный пример, но очень важный).

Рассмотрим область I.

.

С учетом того, что в этой области потенциальная энергия частицы = 0, запишем:

,

учтем, что т.к. , а , т.о. , тогда мы снова пришли к дифференциальному уравнению, решение которого нам хорошо известно:

.

Т.к. волновая функция в области I тождественно равна нулю, из ее непрерывности следует:

.

Это равенство следует из двух следующих граничных условий:

1) т.к. при , (а не );

2) т.к. при , имеем:

,

причем , т.к. получится, что частицы нет ни внутри ямы, ни за ее пределами.

Вспоминаем, что

,

подставляя это достижение в , получим:

.

Энергия частицы может принимать только дискретный ряд значений. Значит, волновая функция в области I имеет вид:

.

Найдем константу . Из условий нормировки – это некоторая константа:

Таким образом, собственные функции имеют вид:

.

Изобразим графики собственных функций и графики плотности вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы :

В состоянии n = 2 частица не может находиться в центре ямы, а при n = 1 – вероятность нахождения частицы в центре ямы максимальна. В состояниях с большими n число нулей и максимумов будет велико. Если размеры детектора будут больше периода , то вероятность обнаружения частицы в яме будет одинакова во всех точках, т.е. свойства системы в случаях больших n аналогична классической теории.

Упражнение:

Найти ,

Гармонический квантовый осциллятор.

Это частица, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы , потенциальная энергия частицы имеет вид . Тогда частота классического осциллятора , , тогда для потенциальной энергии получим:

.

Запишем уравнение Шредингера для этого случая:

Заметим, что мы рассматриваем одномерный случай, и . Гамильтониан квадратичен относительно и х; попытаемся представить его в виде произведения сомножителей, линейных по и х.

.

Хочется написать следующее:

,

однако это неверно, т.к. - дифференциальный оператор, . Поступим следующим образом. Раскроем правую часть:

.

Чтобы понять, каков смысл оператора , подействуем этим оператором на произвольную функцию, зависящую от х:

Поскольку - произвольная функция от , после сокращения на получим:

.

Причем множители в произведениях местами переставлять нельзя (операторы и не являются коммутирующими). В дальнейшем будет сделан вывод о том, что одновременно могут быть измерены только такие величины, операторы которые коммутируют. Итак, окончательно получаем:

.

.

Введем обозначения: , , и окончательно получаем:

.

Убедимся в том, что операторы и не коммутируют, и для них выполняется:

- доказать самостоятельно.

Теорема. Пусть - собственная функция, соответствующая значению энергии , т.е. , тогда функция является собственной функцией гамильтониана , соответствующей энергии (т.е. оператор понижает значение энергии на ).

Доказательство.

Итак, нам нужно доказать, что .

.

Аналогично можно доказать, что функция является собственной функцией , и , т.е. оператор понижает значение энергии на ( - оператор уничтожения кванта), а - повышает значение энергии на ( - оператор порождения кванта). Из физических соображений ясно, что существует минимальное значение энергии (т.к. и потенциальная, и кинетическая энергия ), ему соответствует волновая функция , тогда . Тогда

.

С другой стороны, , тогда

.

Состоянию соответствует энергия , тогда мы приходим к выводу, что уровни энергии гармонического осциллятора описываются уравнением:

.

Изобразим теперь уровни энергии гармонического осциллятора и для наглядности впишем их в выражение для потенциальной энергии ( - квадратичная зависимость, график - парабола).

Свойства уровней энергии гармонического осциллятора:

1. эквидистантны (дистанции одинаковы, отличаются на );

2. существует энергия , называемая нулевой энергией; существование нулевой энергии подтверждается экспериментами по исследованию рассеивания света в кристаллах при низких температурах. Рассеивание света кристаллами обусловлено неоднородностями, связанными с колебаниями решетки (однородные тела свет не рассеивают). Оказалось, что интенсивность рассеянного света при понижении температуры стремится не к нулю, а к конечному предельному значению. Этот предел как раз и есть нулевые колебания, которые не прекращаются даже при температуре, практически равной абсолютному нулю.

Правило отбора.

Квантовая механика позволяет вычислить вероятности различных переходов квантовой системы из одного состояния в другое. Подобные вычисления показывают, что для гармонического осциллятора возможны лишь переходы между соседними уровнями. При таких переходах квантовое число изменяется на единицу:

.

5