!Оптика и квантовая механика / Лекции / Лекции неизвестного авторства / набитые лекции / Лекция 14

Лекция 14.

Определим светимость абсолютно черного тела.

,

где - постоянная в законе Вина.

Замечание о вероятности.

Пусть мы хотим определить среднее значение некоторой величины Z: пусть величины могут принимать некоторые значения:

,

Очевидно, что . Очевидно также и то, что среди будут встречаться одинаковые значения. Пусть значение выпадает раз, тогда:

Заметим, что - отношение благоприятного исхода ко всем возможным. Итак, получаем формулу:

,

причем .

Правило: Чтобы найти среднее значение величины, нужно просуммировать произведения вероятностей появления некоторого значения этой величины на само это значение.

Квантовая теория света.

Обмен энергией и импульсом между электронами, излучением и веществом осуществляется порциями, называемыми квантами света или фотонами.

Фотоэффект.

Это явление испускания веществом (металлической пластиной) электронов под действием света (было открыто Г. Герцем в 1887г.). Был проделан следующий опыт (см. рисунок). Свет, проникающий через кварцевое окошко, освещает катод К, изготовленный из исследуемого материала. Электроны, испущенные вследствие фотоэффекта, перемещаются под действием электрического поля к аноду А. В результате в цепи прибора течет фототок, измеряемый гальванометром G. Напряжение между анодом и катодом можно изменять.

Полученная на таком приборе вольт-амперная характеристика (т.е. кривая зависимости фототока от напряжения между электродами ) приведена на рисунке справа. Естественно, что характеристика снимается при неизменном потоке света Ф. Из этой кривой видно, что при некотором не очень большом напряжении фототок достигает насыщения – все электроны, испущенные катодом, попадают на анод. Доля электронов, отвечающая силе тока при , обладает

скоростями, достаточными для того, чтобы долететь до анода «самостоятельно», без помощи ускоряющего поля. Для обращения силы тока в нуль нужно приложить задерживающее напряжение .

До опытов Герца считалось, что свет – это волна. Тогда получается, что под действием этой волны электроны при поверхностном слое металла будут совершать вынужденные колебания, амплитуда которых определяется из уравнения:

;

отсюда можно выразить амплитуду колебаний электрона:

.

Когда амплитуда колебаний электронов при поверхностном слое станет достаточно большой и превысит барьер, создаваемый приповерхностными силами в металле, электрон из металла вылетит, т.е. чтобы вырвать электрон из металла, нужна некоторая энергия. В силу этого факта был сделан следующий ряд выводов.

Выводы из волновой теории применительно к фотоэффекту:

1. существует пороговое значение амплитуды света (а значит, и интенсивности) при данной частоте ;

2. энергия вылетевшего фотоэлектрона пропорциональна квадрату амплитуды , т.е. пропорциональна интенсивности;

3. если , или интенсивность, фиксировать, а уменьшать, то энергия фотоэлектронов будет увеличиваться;

Данные опыта:

1. порогового значения (интенсивности) не существует, от интенсивности падающего света зависит лишь число вылетевших электронов;

2. энергия фотоэлектронов не зависит от интенсивности;

3. энергия фотоэлектронов зависит от частоты излучения: увеличение приводит к возрастанию энергии;

4. существует пороговое значение частоты, ниже которой фотоэффект не наблюдается;

Если мы будем уменьшать напряжение между катодом и анодом, приближаясь к значению запирающего напряжения, то, очевидно, внешнее поле будет мешать электронам долетать до анода. В итоге анода достигнут только электроны, обладающие большой

кинетической энергией, причем при достижении ими анода вся их кинетическая энергия перейдет в потенциальную. Таким образом изучили максимальную скорость электронов, вылетевших из катода и получили зависимость энергии фотоэлектронов от частоты падающего света (см. рисунок). Эйнштейн предложил использовать гипотезу Планка для объяснения свойств фотоэффекта (теперь это называют теорией Эйнштейна). Поток энергии света не является непрерывным, а

представляет собой поток дискретных порций энергии – фотонов, каждый из которых обладает энергией

, .

Получим теперь формулу Эйнштейна для фотоэффекта. Пусть минимальная энергия, которую необходимо сообщить электрону, для того чтобы удалить его с поверхности металла – работа выхода . Пусть электрон целиком поглотит фотон с энергией . Часть этой энергии затрачивается на выход за поверхность металла, остаток энергии образует кинетическую энергию фотоэлектрона. Тогда уравнение фотоэффекта выглядит следующим образом:

,

где - максимальная кинетическая энергия, которую может приобрести электрон (на самом деле, часть энергии может пойти на колебания кристаллической решетки вещества и т.д.). Обратим внимание, что для фотоэффекта всегда можно пользоваться нерелятивистским выражением для кинетической энергии:

, где .

Пороговое значение частоты падающего света, когда фотоэффект еще будет наблюдаться, получим в том случае, когда электрон с поверхности металла вырвать удастся, но кинетическая энергия электрона будет равна нулю. Тогда получаем следующее условие начала фотоэффекта:

,

тогда

.

Пороговое значение частоты называют красной границей фотоэффекта.

Импульс фотона.

Вспомним несколько основополагающих формул специальной теории относительности:

, , .

Фотон – «как бы» частица, движущаяся со скоростью с, поэтому масса фотона должна быть , иначе , тогда энергия фотона:

, .

Поскольку импульс – величина векторная,

, , .

Эффект Комптона.

Комптон, исследуя рассеивание рентгеновских лучей веществами, обнаружил, что в рассеянных рентгеновских лучах наряду с излучением падающей длины волны содержатся и лучи с большей длиной волны , где зависит только от угла , образуемого направлением рассеянного излучения с направлением первичного пучка. Все особенности эффекта Комптона можно объяснить, рассматривая рассеивание рентгеновских лучей на свободном электроне (это явление и называется эффектом Комптона).

В эффекте Комптона отчетливо проявляются корпускулярные свойства света. Посмотрим, в чем он противоречит с волновой теорией света. Согласно классическим представлениям, рассеяние рентгеновских лучей (фотонов) на свободном электроне должно происходить только на той же самой длине волны . Действительно, пусть электрон совершает колебания под действием падающей на него волны :

.

Очевидно, что ускорение , которое приобретает электрон, если величина, меняющаяся с той же частотой, что и падающий свет. А поле , создаваемое ускоренно движущимся зарядом (согласно классической электродинамике) пропорционально ускорению:

.

Т.е. длине волны взяться неоткуда. Поэтому волновая теория оказалась не в состоянии объяснить эффект Комптона.

Исходя из квантовых представлений, будем рассматривать рассеяние как процесс упругого столкновения рентгеновских фотонов со свободным покоящимся электроном.

До столкновения фотон обладал энергией и импульсом:

, .

Электрон:

, .

Обратим внимание на то, что для обоснования эффекта Комптона следует пользоваться релятивистскими формулами для энергии и импульса.

После столкновения фотон и электрон соответственно будут обладать энергией и импульсом:

, ,

, .

Поскольку соударение упругое, запишем законы сохранения. Закон сохранения энергии:

Закон сохранения импульса:

Из уравнения получим:

Из уравнения получим:

Приравнивая результаты и взаимно уничтожая , получим:

Выражение называют комптоновской длиной волны , тогда . Для электрона . Результаты опытов на легких элементах находятся в полном согласии с формулой . При рассеянии фотонов на электронах, связь которых с атомами велика (несвободные электроны), у вместо массы электрона присутствует масса всего атома, что в раз больше. Отсюда и берется смещенная линия в реальных опытах. Еще раз обратим внимание на то, что при выводе уравнения фотоэффекта мы пользовались нерелятивистской формулой, а при выводе формулы для эффекта Комптона – релятивистской, потому что рассматривали рентгеновское излучение (фотон очень сильно должен ударить по электрону). Если бы мы брали более мягкое нерентгеновское излучение, то в этом случае даже внешний электрон в атоме нельзя было бы считать свободным.

5