!Оптика и квантовая механика / Лекции / Лекции неизвестного авторства / набитые лекции / Лекция 18

Лекция 18.

Движение частицы в однородном магнитном поле.

Отражение и проникновение частицы через потенциальный барьер.

Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высоты и ширины (смотри рисунок 1).

По классическим представлениям поведение частицы имеет следующий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера , частица беспрепятственно проходит над барьером (на участке лишь уменьшается скорость частицы, но затем при снова принимает первоначальное значение). Если же меньше (как изображено на рисунке), то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону; сквозь барьер частица проникнуть не может.

Совершенно иначе выглядит поведение частицы согласно квантовой механике. Во-первых, даже при имеется отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера и полетит в обратную сторону. Во-вторых, при имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет «сквозь» барьер и окажется в области, где . Такое, совершенно невозможное с классической точки зрения, поведение микрочастицы вытекает непосредственно из уравнения Шредингера

Рассмотрим случай, при котором . Запишем уравнение Шредингера для областей I, II и III:

Для первой и третьей области:

(1)

Для второй области:

(*)

Будем искать решения уравнения (1) вида , как нам известно из курса дифференциальных уравнений:

Составим характеристический многочлен для данного уравнения:

Отсюда , где а решение уравнения (1) в общем виде запишется так:

Соответственно, для зон I и III запишем получившийся результат:

(2)

(3)

Аналогично решаем уравнение (*):

Характеристический многочлен:

, где

И общее решение для уравнения (2) для области II запишется так: (4).

Заметим, что решение вида соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси , а решение вида - волне, распространяющейся в противоположном направлении. Чтобы это понять, вспомним, что обычная (звуковая, электромагнитная и т. п.) плоская волна, распространяющаяся в направлении возрастания , описывается вещественной частью выражения , а волна, распространяющаяся в направлении убывания , - вещественной частью выражения . Частице, движущейся в положительном направлении оси , сопоставляется функция . Если отбросить в этой функции временной множитель, то для получится выражение .

Для частицы, движущейся в противоположном направлении, .

В области III имеется только волна, прошедшая через барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент в выражении (3) для следует положить равным нулю. Для нахождения остальных коэффициентов воспользуемся условиями, которым должна удовлетворять функция . Для того чтобы была непрерывна во всей области изменений от до , должны выполняться условия: и . Для того чтобы была гладкой, то есть не имела изломов, должны выполняться условия: и . Из этих слов вытекает следующая система 4 уравнений:

(5)

Теперь разделим все уравнения на и введем обозначения:

, , , .

Тогда выражение (5) примет вид:

(6)

Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волн

определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера и может быть названо коэффициентом отражения.

Отношение квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волн

(7)

определяет вероятность прохождения частицы через барьер и может быть названо коэффициентом прохождения. Нас будет интересовать только прохождение частиц через барьер, и мы ограничимся нахождением величины . Правда, найдя , легко найти , поскольку эти коэффициенты связаны очевидным соотношением .

А теперь займемся решением системы уравнений (6).

Умножим первое из уравнений (6) на и сложим с третьим. В результате получим

.

Теперь умножим второе из уравнений (6) на и вычтем его из четвертого. Получим:

.

Решив совместно два получившихся уравнения, найдем, что:

Наконец, подставив найденные нами значения и во второе уравнение (6) , получим выражение для :

Величина обычно бывает много больше единицы. Поэтому в знаменателе выражения для слагаемым, содержащим множитель , можно пренебречь по сравнению со слагаемым, содержащим множитель ( комплексные числа и имеют одинаковый модуль). Итак, можно положить:

Согласно (7) квадрат модуля этой величины дает вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер. Учтя, что , получим

, где .

Выражение имеет значение порядка единицы. Поэтому можно считать, что

(9)

Из полученного нами выражения следует, что вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины барьера и от его превышения над , то есть от . Если при какой-то ширине барьера коэффициент прохождения равен, допустим, , то при увеличении ширины в два раза станет равным , то есть уменьшается в сто раз. Тот же эффект в этом случае вызвало бы возрастание в четыре раза величины . Коэффициент прохождения резко уменьшается при увеличении массы частицы .

Соответствующий расчет дает, что в случае потенциального барьера произвольной формы (смотри рисунок) формула (9) должна быть заменена более общей формулой:

.

При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере (см. заштрихованную область на рисунке), в связи с чем рассмотренное нами явление называют туннельным эффектом.

С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как частица, «находящаяся в туннеле», должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией (в туннеле ). Однако туннельный эффект – явление специфически квантовое, не имеющее аналога в классической физике. В квантовой же механике деление полной энергии на кинетическую и потенциальную не имеет смысла, так как противоречит принципу неопределенности. Действительно, тот факт, что частица обладает определенной кинетической энергией , был бы равнозначен тому, что частица имеет определенный импульс .

Аналогично тот факт, что частица имеет определенную потенциальную энергию , означал бы, что частица находится в точном заданном месте пространства. Поскольку координата и импульс частицы не могут одновременно иметь определенных значений, не могут быть точно определены и . Таким образом, хотя полная энергия частицы имеет вполне определенное значение, она не может быть представлена в виде суммы точно определенных энергий и . Ясно, что в этом случае заключение об отрицательности «внутри» туннеля становится беспочвенным.

Принцип Суперпозиции

Квантовая механика имеет статистический характер. Описание состояния квантовой системы определяется меньшим количеством величин, чем в классической физике, и является менее подробным. В квантовой механике нельзя определить траекторию частицы, и основной задачей квантовой механики является определение того или иного результата. В этом случае говорят, что в этом состоянии величина имеет определенное значение.

Одним из основных положений квантовой механики является принцип суперпозиции состояний. Суть этого принципа заключается в следующем. Пусть некоторая квантово-механическая система может находиться как в состоянии , так и в состоянии . Тогда существует состояние системы, которое описывается функцией

( и - произвольные комплексные числа).

Из принципа суперпозиции вытекают очень важные следствия. Рассмотрим совокупность собственных значений некоторой физической величины и соответствующих им собственных функций:

и .

В каждом из состояний, описываемых этими функциями, величина имеет определенное значение: в состоянии - значение , в состоянии - значение и так далее.

Согласно принципу суперпозиции возможно состояние, описываемое функцией

.

В этом состоянии величина уже не имеет определенного значения – при измерениях будет получаться либо значение , либо значение . Вероятности проявления этих значений равны квадратам модулей коэффициентов и , то есть вероятность получить при измерениях результат равна , а вероятность получить результат равна .

В квантовой механике принимается, что совокупность собственных функций любой физической величины образует полную систему. Это означает, что пси-функцию любого состояния можно разложить по собственным функциям этой величины, то есть представить в виде

,

где - не зависящие от координат, в общем случае комплексные числа( для состояния, изменяющегося со временем, коэффициенты зависят от ). Число слагаемых в сумме равно числу различных собственных функций величины ( для разных величин это число колеблется от 2 до ).

Квадраты модулей коэффициентов дают вероятность того, что при измерениях, производимых над системой, находящейся в состоянии , будут получены соответствующие значения величины . Поскольку сумма всех таких вероятностей должна быть равна единице, коэффициенты удовлетворяют условию.

Для нормированных это условие всегда выполняется.

Зная вероятности различных значений величины , можно найти среднее значение этой величины в состоянии : .

Операторы в квантовой механике.

Мы уже говорили, что каждой величине в квантовой механике можно сопоставить оператор. Импульсу сопоставляется оператор: . А для координаты оператором является, например: .

Пусть у нас имеется оператор какой то величины. Решая уравнение , где справа - это число (мы уже делали это для гармонического осциллятора, тогда у нас оператором являлся оператор Гамильтона). Например, решая уравнение , мы получим его решение вот такого вида: .

Если величины , могут быть одновременно измерены, то по сути они обладают общими собственными функциями операторов , .

А теперь покажем, что данные операторы коммутируют:

- о таких операторах говорят, что они коммутируют друг с другом.

Коммутативность операторов является необходимым и достаточным условием измерения физический величин.

- то есть в данном случае операторы не коммутируют, и вот почему мы не можем измерить координату или импульс в квантовой механике. Иначе все выше сказанное противоречило бы принципу неопределенностей.

6