Лекция 6. Уравнения параболического типа.

Определение. Классическим решением начально-краевой задачи называется функция , непрерывная вместе с первыми производными по координатам в замкнутом цилиндре, имеющая непрерывные производные первого порядка по и второго по координатам в открытом цилиндре, удовлетворяющая уравнению, начальному условию и граничному условию.

Необходимым условием существования классического решения начально-краевой задачи является условие согласования начального и граничного условия.

Принцип максимума.

Решение однородного уравнения теплопроводности

непрерывное в замкнутом цилиндре во внутренних точках этого цилиндра не может принимать значений, больших, чем максимальное из начального и граничного значений.

Доказательство

Нужно доказать, что если

То

От противного

Пусть в некоторой внутренней точке функция достигает своего максимального значения, т. е.

Введём вспомогательную функцию.

если

Т.к. функция непрерывна в замкнутом цилиндре, то она должна в некоторой внутренней () достигать своего максимального значения, тогда

Для точки выполняются условия максимума

Тогда в той же точке для .

но т.к то приходим к выводу, что уравнение не выполняяется.

Следствие для уравнения имеет место принцип минимума.

Принцип сравнения 1. Если два решения ур-я теплопроводности, непрерывны в замкнутом цилиндре удовлетворяют условиям

то

Принцип сравнения 2.

Если два решения уравнения теплопроводности, непрерывные в замкнутом цилиндре, удовлетворяют условиям

то

Формальное построение решения теплопроводности

Рассмотрим в области задачу Ш-Л.

Неоднородное уравнение теплопроводности