Уравнение Кортевега-де Фриза.

(1)

Этим уравнением описывает процесс распространения волн на поверхности воды.

Одним из замечательных свойств уравнения является наличие бесконечного числа законов сохранения, т.е. интегралов движения

, ,

Схема обратной задачи рассеяния.

Оказалось, что уравнение (1) тесно связано с уравнением

(2)

Это стационарное уравнение Шредингера.

Будем называть функцию быстроубывающей, если

Будем ниже предполагать, что быстроубывающая.

Для уравнения рассмотрим две задачи.

Первая состоит в нахождении таких , при которых уравнение имеет нетривиальные решения .

Вторая – в нахождении при ограниченных решений уравнения (2) с заданным асимптотическим поведением при

Здесь . А функции и

Первая задача – задача о нахождения собственных значений ( уровней энергии), при этом считаем, что нормирована на единицу в .

Вторая – задача рассеяния плоской волны на потенциале , причём

Первая задача может иметь решения лишь при . При этом решения при , асимптотику следующего вида

Предположим, что обе задачи решены и определены совокупности и . Эти данные принято называть данными рассеяния.

Пусть нам известно данные рассеяния для некоторого потенциала. Поставим задачу нахождения по данным рассеяния соответствующего потенциала.

По данным рассеяния строится функция

Эта функция называется ядром уравнения Гельфанда-Левитана, а затем ищется ядро следующего линейного интегрального уравнения.

(3)

Решив уравнение Гельфанда-Левитана по формуле

(4)

определяем , которая является искомым потенциалом.

Схема метода

Рассмотрим задачу Коши для уравнения (1).

Решение задачи Коши назовём быстроубывающим, если и все её производные до третьего порядка включительно являются быстро убывающими функциями.

Теорема 1. Если потенциал является быстроубывающим решением уравнения КДФ, то собственные значения не зависит от времени .

Теорема 2. Если потенциал является быстроубывающим решением уравнения КДФ, то данные рассеяния зависят от времени следующим образом

(5)

Таким образом мы приходим к следующей схеме отыскания быстроубывающих решений.

Рассматривая уравнение

Определяем данные рассеяния и .

Затем по формулам (5) определяем и и с помощью этих функций строим ядро уравнения Гельфанда-Левитана.

Решив уравнение (3) с этим ядром по формуле (4) находим

Рассмотрим простейший пример

Пусть

Рассмотрим уравнение Гельфанда-Левитана.

Разыскивая решение в виде

, найдём