Лекция 2. Основные уравнения математической физики и постановка начально-краевых задач.

Рассмотрение математических моделей различных физических процессов приводит дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка:

.

В этой лекции мы рассмотрим различные математические модели, приводящие к уравнениям такого типа.

1. Уравнение колебаний. Различные задачи о колебаниях струн, стержней, мембран и трёхмерных объёмов, а также электромагнитных колебаниях приводят к уравнению колебаний вида

, (1)

где неизвестная функция зависит от пространственных переменных координат и времени , коэффициенты и определяются свойствами среды, а выражает интенсивность внешнего возбуждения. Используя определение операторов и , получим

.

Так в частности уравнение малых поперечных колебаний струны имеет вид

,

где обозначает линейную плотность струны, - сила натяжения нити, в рассматриваемом приближении постоянная величина приближении, а величина отклонения струны от положения равновесия. Если и плотность постоянна, то уравнение колебаний струны принимает вид

, ,

которое носит название одномерного волнового уравнения. Из физических соображений следует, что для однозначного описания процесса колебаний струны необходимо дополнительно задать величины смещения и скорости струны в начальный момент времени (начальные условия) и условия на концах струны, например: закреплённый конец струны, свободный конец струны.

Уравнения вида (1) также описывает малые продольные колебания упругого стержня

площадь поперечного сечения стержня, а - модуль Юнга в точке.

Уравнение малых поперечных колебаний мембраны

Трёхмерное волновое уравнение

описывает процессы распространения звука в однородной среде и электромагнитных волн в однородной не проводящей среде. В качестве может выступать плотность газа, его давление либо потенциал скоростей, а в случае электромагнитных колебаний напряжённости электрического и магнитных полей, либо соответствующие им потенциалы.

2. Процессы распространения тепла или диффузии частиц в среде описывается следующим общим уравнение диффузии

Если среда изотропная и однородная, то процесс распространения тепла описывается уравнением теплопроводности

Как и в случае уравнения колебаний, для полного описания процесса распространения тепла необходимо задать начальное распределение температуры (начальное условие) и условие на границе , которое может иметь следующий вид

а) , если на границе поддерживается заданное распределение температуры

б) , если на поддерживается заданный поток тепла

в) , если на происходит теплообмен согласно закону Ньютона.

3. В стационарном случае, когда , то есть, нет зависимости от времени и , , уравнение колебаний и диффузии принимает вид

.

Отметим некоторые важные частные случаи.

Уравнение Пуассона

Уравнение Лапласа

Уравнение Гельмгольца

4. Постановка граничных условий

Мы в нашем курсе будем рассматривать следующие задачи с условиями на границе вида

Причём будем различать следующие случаи:

Условия Дирихле (граничное условие первого рода):

Условия Немана (граничное условие второго рода):

Если же граничное условие не является условием Дирихле и Немана, то будем говорить, что задано условие третьего рода.

Если , то мы будем говорить, что заданы однородные граничные условия.

5. Классификация уравнений второго порядка, линейного относительно старших производны (случай двух независимых переменных).

Рассмотрим уравнение

(2)

Определение. Если в точке выражение , то уравнение (2) называется уравнением гиперболического типа в точке , если , то уравнение (2) называется уравнением эллиптического типа, если же , то уравнение (2) называется уравнение параболического типа.

Замечание. Заметим, что эта классификация инвариантна относительно невырожденной замены переменной

, .