Сплошной диск

 

Уравнения (1.12) остаются справедливыми и для сплошного диска (без центрального отверстия) кроме точки . Найдем произ­водные  в центре диска,  полагая,  что они непрерывны в этой точке.

Разложим функцию  в ряд по степеням  в окрестности точки :

 

(1.24)

По условиям симметрии , следовательно, .

Подставляя разложение (1.24) в выражения (1.2) и (1.3), полу­чаем

 

(1.25)

 

(1.26)

 

Из выражений (1.25), (1.26) следует, что величины , ,  принимают в центре диска  одно и то же значение:

 

(1.27)

 

Выразим усилия  и  через деформации  и , восполь­зовавшись соотношениями (1.7) и (1.8):

 

(1.28)

 

(1.29)

 

Подставляя в выражения (1.28) и (1.29) разложения (1.25) и (1.26), находим

 

(1.30)

 

(1.31)

 

Из выражений (1.30) и (1.31) вытекает, что усилия  и  принимают в центре диска одно и то же значение :

 

(1.32)

 

где , , ,  - значения соответствующие параметров при .

Из выражений (1.27) в (1.32) находим

 

(1.33)

 

Найдем производную  из выражения  (1.30):

 

(1.34)

 

Полагая, что в центре диска производные  , ,  обращаются в нуль,  находим значение производной  в этой точке:

 

(1.35)

 

Уравнение (1.1) можно записать в следующем виде:

 

(1.36)

 

Подставляя в уравнение (1.36) выражения (1.30) и (1.31), получаем

 

(1.37)

 

откуда

 

(1.38)

 

Сопоставляя выражения (1.35) и (1.38), заключаем, что .

Таким образом, в центре диска

 

(1.39)

 

Расчет сплошного диска сводится к интегрированию системы (1.12), при этом производные   и  в точке  определяем по формулам (1.39). Для определения постоянных интегрирования служат граничные условия:

 

(1.40)

 

Отметим, что граничное условие в точке  можно получить из общего выражения (1.22) при , . Параметры, характеризующие напряженно-деформированное состоя­ние в сечениях диска при , находим по формулам (1.13). На­пряжения и деформации в центре диска определяем по формулам:

 

(1.41)

 

Уравнения (1.12), (1.13), (1.39), (1.41) и граничные условия (1.40) составляют математическую модель напряженно-деформирован­ного состояния вращающегося сплошного неравномерно нагретого дис­ка.