диски расчет 3

Численный метод решения задачи о расчёте вращающихся неравномерно нагретых дисков переменной толщины

 

В разд. 1 было установлено, что задача о расчете вращающегося неравномерно нагретого диска переменной толщины с центральным от­верстием сводится к интегрированию системы дифференциальных урав­нений (1.12) с переменными коэффициентами в интервале  при заданных граничных условиях (1.22) и (1.23). Эта, так называемая, краевая задача (граничные условия сформулированы в точках  и  интервала интегрирования) в общем случае может быть решена численным методом с применением ЭВМ.

Расчеты с применением ЭВМ имеют ряд характерных особенностей. В частности, при реализации численных методов расчета на ЭВМ весь­ма эффективным оказывается использование матричной формы записи машинных алгоритмов. Применение матричной символики позволяет не только компактно записать уравнения и алгоритм решения задачи, но и облегчить процесс программирования, так как ЭВМ, как правило, снабжены стандартными программами для матричных операций.

Из величия  и  составим вектор , который будем называть вектором состояния, и запишем систему уравнений (1.12) в матричной форме:

 

(3.1)

 

где

 

матрица переменных коэффициентов

(3.2)

 

вектор, учитывающий массовые силы инерции и температурную деформации

(3.3)

 

Наиболее распространенным методом численного решения линейной краевой задачи является метод начальных параметров, позволяющий свести решение краевой задачи к решению последовательности задач Коши.  Напомним, что в задаче Коши (начальной задаче) требуется найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлет­воряющее начальным условиям.

Общее решение  системы неоднородных линейных дифференци­альных уравнений (3.1) можно представить в виде суммы какого-либо частного решения  этой системы и линейной комбинации двух линейно-независимых решений ,  системы однородных дифференциальных уравнений

 

(3.4)

 

Таким образом, можно записать

 

(3.5)

 

где , , – постоянные интегрирования.

Вектор  можно найти, решая задачу Коши для системы (3.1) при произвольных начальных условиях .

Численное решение задачи Коши выполняем методом Рунге-Кутта. Делим интервал  на заданное число  частей с шагом  (рис.3.1). Согласно методу Рунге-Кутта, который от­носится к числу шаговых методов, вектор состояния в каждой последующей точке находим по формуле

 

;

(3.6)

 

, , ,  - векторы,  определяемые по формулам:

 

Таким образом, задавая начальный вектор , находим затем последовательно векторы , , … ,  по формуле (3.6).

 

Рис. 3.1. Схема деления диска на участки

 

Векторы ,  можно найти, решив две задачи Коши для системы однородных уравнений (3.4), задавая начальные условия:

 

  

 

При выборе начальных векторов ,   следует обеспечить их ли­нейную независимость.

Численное решение задач Коши для системы (3.4) находим мето­дом Рунге-Кутта, вычисляя последовательно векторы состояния в точках , 

, … , по формулам:

 

; ,

; ,

 

где  - векторы, определяемые по формулам:

 

,	,
,	,
,	,
,	.

 

Постоянные интегрирования  и  определяем из граничных условий (1.22) в (1.23), принимая во внимание, что соотношение (3.5) выполняется для всех точек интервала , в том числе, и для точек  и , т.е.

 

(3.7)

 

где  и  - действительные векторы состояния на внутреннем и наружном контурах диска.

 

Запишем соотношения (3.7) в развернутом виде:

 

(3.8)

 

Из векторных соотношений (3.8) можно получить следующие ска­лярные соотношения:

 

(3.9)

 

Используя граничные условия (1.22) и (1.23), получаем с уче­том соотношений (3.9) систему линейных алгебраических уравнений относительно  и :

 

(3.10)

 

где .

Решая систему (3.10), находим постоянные интегрирования.

Для  сокращения объема вычислений при численном решении рас­сматриваемой краевой задачи целесообразно  так  назначить  начальные векторы , , , чтобы одна из постоянных интегрирования заведомо обращалась в нуль.

Систему (3.10) можно представить в следующем виде:

 

(3.11)

 

Для того, чтобы  при любых значениях доста­точно выполнения следующих  соотношений:

 

(3.12)

 

Выражение  не может одновременно  обратиться в нуль ввиду линейной независимости векторов , .

Соотношения (3.12)  будут выполнены, если при  принять

, ,  ,  ,  т.е.

 

,

(3.13)

 

Если , то необходимо, чтобы . В противном случае из соотношения  (1.22) следует, что одновременно и , а это означает, что граничное  условие на внутреннем контуре  диска обра­щается в тождество и решение задачи становится неопределенным.

В случае, когда  и , для выполнения соотношений (3.12)  можно принять , ; , , т.е.

 

,

(3.14)

 

При указанном выборе  начальных векторов  и  равенство  выполняется при любых  значениях исходных данных, и для решения рассматриваемой краевой задачи достаточно выполнить чис­ленное решение только двух задач Коши:

-  для системы  однородных уравнений  (3.4)  при начальном векторе ;

-  для системы неоднородных уравнений  (3.1)  при  начальном  век­торе .

 

Постоянную интегрирования  в этом  случае  определяем по формуле

 

(3.15)

 

Вектор решения краевой задачи находим затем по формуле (3.5), учитывая, что :

 

(3.16)

Изложенный метод можно применить также для расчета дисков без центрального отверстия.

По условиям симметрии радиальное перемещение центра сплошного диска , т.е. коэффициенты , ,  в условии (1.22) принимают значения: , .

При расчете  сплошного диска формируем начальные  векторы  по формулам  (3.13):

 

,

 

и выполняем численное  решение  задач Коши для системы однородных уравнений  (3.4)  и системы неоднородных уравнений (3.1) при на­чальных условиях  и  соответственно.

При численном интегрировании матрицу коэффициентов  и век­тор  в точке  формируем в соответствии с уравнениями (1.39):

 

(3.17)

 

В точках  элементы матрицы  и вектора  вычисляем в соответствии с выражениями (3.2) и (3.3).

Постоянную интегрирования  и решение краевой задачи  для сплошного диска находим по формулам (3.15) и (3.16), как и для диска с центральным отверстием.

Алгоритм численного решения краевой задачи для диска можно представить в более компактной форме. Введем в рассмотрение матрицы:

 

(3.18)

 

(3.19)

 

,

(3.20)

 

Столбцами матрицы  служат векторы  и  частных решений задач Коши для систем  (3.4)  и  (3.1). Матрица  состоит из векторов начальных условий  и .  Столбцами матрицы  являются нулевой вектор и вектор , учитывающий массовые силы инерции и температурную деформацию диска в соответствии с выраже­ниями (3.3) и (3.17).

Решение краевой задачи для диска сводится к решению задачи Коши для дифференциального уравнения

 

(3.21)

 

при начальном условии . В уравнении (3.21)  - мат­рица, элементы которой определяются выражениями (3.2) и (3.17). Численное интегрирование уравнения (3.21) выполняем методом Рунге-Кутта:

 

;

(3.22)

 

где , , ,  – матрицы производных частных решений, опре­деляемые выражениями:

 

(3.23)

 

В результате находим матрицы частных решений , , ... ,  уравнения (3.21) в точках ,  , … ,  интервала .

Постоянную интегрирования  определяем по формуле

 

(3.24)

 

где ,  - элементы второй строки матрицы  (первая цифра в скобках указывает номер строки, вторая - номер столбца матрицы),  - радиальное усилие при .

Вектор решения краевой задачи для диска находим по формуле

 

,

(3.25)

 

где ,  -  соответственно первый и второй столбцы матрицы .