4.2. Цифровая обработка сигналов

89

Данное соотношение 4.20 называется билинейным преобразованием.

Таким образом, аналоговый фильтр можно преобразовать в цифровой следующим образом. В выражение для аналоговой передаточной функции H(Р) вместо нормированной комплексной частотной переменной Р подставляем переменную l (z–1)/(z+1) и получаем передаточную функцию Hц(z), которая может быть реализована в цифровом фильтре. Амплитудно-частотная характеристика имеет в этом случае вид, подобный характеристике аналогового фильтра. Характеристика сжимается по частоте Ω таким образом, чтобы значение H(j∞) соответствовало частоте 1/2Ω0. Появляющееся при этом ослабление тем меньше, чем больше Ω0 по сравнению с представляющим интерес частот-

ным диапазоном 0<Ω<Ωmax.

Фазово-частотная характеристика, естественно, изменяется сильнее. Следовательно, положения, относящиеся к аналоговой технике, нельзя переносить в область цифровых устройств. По этой причине, например, неразумно аппроксимировать амплитудно-частотную характеристику бесселевыми фильтрами, поскольку линейность фазы в этом случае нарушается. Такую задачу аппроксимации целесообразно решать непосредственно в z-области. При построении цифровых фильтров, как и для аналоговых фильтров, наиболеепростосоединятьблокипервогоивторогопорядка.

Расчет цифровых фильтров на заданную частотную характеристику проводится довольно просто с использованием билинейного преобразования. Для этого в передаточную функцию Н(P) аналогового фильтра вместо частотной переменной P подставляется ее выражение через переменную z:

Где f0 – частота дискретизации, fср – частота среза или резонансная частота фильтра. В результате получается передаточная функция Hц(z) цифровой системы. Так аналоговый фильтр n-го порядка преобразуется в рекурсивный цифровой фильтр того же порядка. Заметим при этом, что частотная характеристика аналогового фильтра в области 0 ≤ fa ≤ ∞ неравномерно отображается при реализации

соответствующего цифрового фильтра на область 0 ≤ fц ≤ f0/2 (здесь f0 – частота дискретизации), т.е. частотные характеристики аналогового и соответствующего ему цифрового фильтров оказываются различными, особенно в области верхних частот полосы пропускания. Если передаточная функция фильтра Hц(z) определена, то реализовать ее можно с использованием разных схемных структур, которые, как и в случае аналоговых фильтров, будут обладать присущими им индивидуальными свойствами.

Свойства цифровых фильтров имеют свои пределы, связанные в основном с конечной длиной кодовых слов сигнала, выбором коэффициентов фильтра и элементами схемы, для которых ведется расчет (сумматор, умножитель, ЗУ). Наиболее характерные мешающие факторы:

•чувствительность к разбросу значений (конечная точность) коэффициентов фильтров;

•неустойчивость при перегрузках и малых уровнях сигнала рекурсивных фильтров;

•шумы округления в умножителях, обусловленные ограничением длины кодового слова результата.

90

Как можно видеть из всего сказанного выше, степень мешающего влияния указанных факторов можно уменьшить, если увеличить в доступных пределах длину кодовых слов внутри цифровой системы и правильно выбирать структуру схем.

Структура цифровых рекурсивных фильтров первого порядка

Для фильтра первого порядка (рис. 4.7) необходим лишь один элемент задержки (рис. 4.5). Используя формулу (4.4) для цепи задержки получаем Z-преобразованную выходную последовательность

Y (z) = D1X (z) + z −1[D0 X (z) −C0Y (z)]

Фильтры нижних частот характеризуются, таким образом, соотношением D1 = D0, а для фильтров верхних частот D1 = -D0. Отсюда понятно, почему схема, приведенная на рис. 4.1, не является истинным фильтром нижних частот, а обладает лишь похожей характеристикой: коэффициент D1 в формуле (4.8) не равен D0. Это означает, что коэффициент d1 соответствующего аналогового фильтра не равен нулю. Поэтому затухание на высоких частотах остается конечным.

Структура рекурсивных цифровых фильтров второго порядка

Если к схеме на рис. 4.7 прибавить звено задержки, то получится фильтр второго порядка, который представлен на рис. 4.8. Существует, кроме того, возможность дальнейшего наращивания схемы, которую здесь, однако, мы не будем рассматривать подробно. Фильтр более высокого порядка может быть реализован добавлением следующего элемента задержки. Наиболее просто осу-

ществлять каскадирование фильтров первого и

Рис. 4.8. Цифровой фильтр второго порядка второго порядка.

Передаточная функция A(z) блока фильтрации на рис. 4.8 получена тем же способом, что и для фильтра первого порядка. Анализируя схему на рис. 4.8 можно записать

С помощью этой схемы можно реализовать любую искомую передаточную функцию фильтра второго порядка.

Теперь, как и в случае фильтров первого порядка, рассмотрим некоторые специфические свойства коэффициентов. Применяя формулы пересчета для различных способов фильтрации, можно получить следующие выражения:

для фильтра нижних частот

для фильтра верхних частот

91

Снижение влияния ошибок квантования с помощью обратной связи

Существует еще один способ уменьшения дополнительных ошибок квантования (см. раздел 1.2.2) в системах с передискретизацией (рис. 4.9).

Этот способ состоит в использовании обратной связи, цепь которой действует как фильтр, вычитающий из сигнала ошибки квантования (выпавшие младшие значащие разряды).

Так, например, шум квантования, вызванный сокращением длины кодовых слов до 14 бит (округлением), распределяется равномерно по полосе частот до f’/2 (88,2 кГц) при четырехкратной передис-

кретизации звукового сигнала (f’=44100 4=176400 Гц=176,4 кГц).

Если сигнал постоянный (имеет постоянную величину), то ошибки округления смежных отсчетов одинаковы. Если эту ошибку вычесть из очередного отсчета, то можно уменьшить среднюю ошибку. При высокой частоте дискретизации огибающая реального звукового сигнала (по крайней мере в коротком отрезке времени) может рассматриваться как постоянная. Таким образом, эффект уменьшения ошибок квантования оказывается наибольшим на низких частотах сигнала.

Технически этот способ наиболее просто реализуется путем вычитания ошибок квантования из предшествующих разрядов (рис. 4.9, б).

Случай без шумоподавляющей обратной связи:

временная область у(n) = х(n) + q(n); частотная область Y(z) = X(z) + Q(z);

Передаточная характеристика в z-области по шумовой составляющей:

Подставив z = ехр(j 2 πfT0’), получаем частотную характеристику:

Рис. 4.9. Структурная схема формирователя спектра ошибок квантования (а), эквивалентная схема простейшей реализации обратной связи по ошибке (б), результирующий спектр модулей ошибок квантования (в).