Шпаргалки / вар3 / 5

3)Постулаты квантовой механики

1)Каждой системе (состоянию кв.-мех. системы может быть поставлена в соответствие волновая функция динамических переменных, из полного набора, и времени, полностью описывающей состояние системы.

Динамические переменные одновременно измеряемы. - n – мерный вектор динамических переменных; функция динамических переменных и времени - описывает эволюцию квантово-механических систем.

В классической механике задание 2n динамических переменных полностью определяет состояние системы через функцию Гамильтона.

В квантово-механической системе описывается эволюция системы через - функцию от n динамических переменных.

2)Каждой физической величине ставится во взаимооднозначное соответствие оператор: .

3) - значение физической величины , которое получено в результате измерения системы, находящейся в i-том квантовом состоянии.

, является одним из собственных значений оператора . Задача определяет собственные значения , соответствующие и определяет собственные функции , соответствующие собственным значениям .

Если собственные значения образуют дискретное множество, то говорят о дискретном спектре.

Если собственные значения образуют непрерывное множество, то спектр непрерывный. 4)

здесь введено понятие скалярного произведения для функций из гильбертова пространства.

Гильбертово пространство – это пространство квадратично интегрируемых функций (нормируемых функций).

- квадратично интегрируемые функции, тогда

Это определение для - декартовых переменных. Для перехода к другой системе координат вводится якобиан.

Это аналог длины в векторном пространстве.

7)Операторы в квантовой механике

В силу принципа суперпозиции в квантовой механике используются линейные операторы.

Линейный оператор – это такой оператор действующий на , что

(1)

(2)

здесь действует на произвольную функцию .

Линейность:

Если , то (3)

т.к. , то из (3)

Сопряженный оператор – это оператор, который связан с данным оператором соотношением:

Отсюда

Если - то оператор называется эрмитовым.

Транспонированный оператор

Отметим следующие свойства:

1)

(4)

Из выражения (4) получаем

2)

3)

Сумма операторов: . Это операторное равенство предполагает

Произведение операторов: , тогда . Это операторное равенство предполагает

В общем случае не коммутативны

Коммутатор

Если , то операторы коммутативны.

Если , то операторы не коммутативны.

Так как физические величины вещественны, то число операторов в квантовой механике сужается.

Сужение класса операторов – эрмитовость операторов.

Запишем определение среднего:

Так как результаты измерений вещественны, то тоже должно быть вещественным, т.е.

(5)

тогда

,

т.е.

Обозначим , тогда

Тогда из (5) получаем

(6)

Из (6) имеем для любых :

,

,

где (сопряженный и транспонированный)

14)Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин

Коммутатор:

. Если существует , то предполагается, что на некоторую функцию сначала действует , а потом на все действует . Если , то операторы и коммутативны. Причем физические величины, соответствующие этим операторам одновременно измеримы. Или говорят, что эти операторы имеют общий базис. То есть все собственные функции этих операторов можно выбрать общими.

Разложение по базису: .

Если подействовать на коммутатором:

=

То есть, если физические величины одновременно измеримые, то их коммутатор равен нулю.

Обратное: Если коммутатор обращается в ноль, то физические величины одновременно измеримы.

Пусть собственная функция . Подставляем ее в коммутатор

Тогда получим . Мы рассматриваем невырожденный спектр. Это значит, что существует однозначное соответствие одно собственного значения и одной собственной функции. Разница между функциями и только до константы.

Пусть эта константа , тогда . Но , тогда .

Получили, что функция удовлетворяет задаче Штурма-Лиувилля для оператора .

Это можно было показать для любой собственной функции оператора .

Тогда из коммутативности операторов и следует общность базисов.

Величины и , которым соответствуют коммутирующие операторы могут быть одновременно измеримы и следовательно могут образовывать полный набор динамических переменных.

Полный набор динамических переменных полностью задает состояние системы. Но операторы и должны быть независимы.

28) Оператор перестановки и его свойства Введем обозначение оператор, который осуществляет перестановку a-ой и b-ой частицы из ансамбля одинаковых частиц. Оператор для таких систем из одинаковых частиц обладает симметрией. Так как частицы одинаковые, то они имеют одинаковую энергию взаимодействия, т. е. она инвариантна относительно перестановки. Т. е. можно записать

(*) Так как оператор явным образом от времени не зависит, то из (*) следует, что он является интегралом движения. Его собственные значения сохраняются. Найдем собственные значения оператора. Запишем задачу Штурма-Лиувилля:

(**)

При повторном действии оператора, получим:

(***)

С учетом (**):

Тогда из (***):

, .

Получаем частицы с симметричными и антисимметричными волновыми функциями: бозоны и фермионы. Кроме того, оператор - это интеграл движения. Тогда его собственные значения сохраняются во времени. Т. е. свойства волновых функций, связанных с действием этого оператора тоже сохраняются. Функции отвечающие собственному значению +1 называются симметричными, описывают симметричные состояния.

Аналогично

Это антисимметричная функция. Свойства симметричности и антисимметричности называются интегралами движения, т. е. сохраняются. Ансамбль не может переходить из одного состояния в другое (т. е. из симметричного в антисимметричное и наоборот).

Симметричные функции описывают состояние систем с целым спином, т. е. ансамбль бозонов.

Антисимметричные функции – ансамбль фермионов.

Пусть

,

где

,

, .

Мы будем рассматривать стационарные состояния, т. е.

,

где

Стационарные функции удовлетворяют стационарному уравнению Шредингера

,так как операторы и коммутируют, то

.

Мы имеем

Если всего N частиц, то можно осуществить N! перестановок, тогда имеем N! возможных функций .

Так как все удовлетворяют уравнению Шредингера при одной и тойже энергии , то мы получили вырождение. Оно носит фиктивный характер. Для того чтобы избавиться от этого вырождения проведем симметризацию функций.

16)Волновое уравнение - уравнение функции, которое описывает состояние квантово-механической системы. Оно было получено Шредингером интуитивным путем и не выводится.

Норма волновой функции: , - вероятность обнаружить динамические переменные в интервале. Наложим на - условие ее сохранения во времени. - это физическое требование, поскольку , то также функция времени.На базе ограничения получим некоторые ограничения на .

Мы знаем, что , таким образом . Тогда само скалярное произведение - чисто мнимое число. Но - число вещественное. Отсюда можно представить (*). Здесь мнимая единица из соотношения .Т. к. в (*) стоит линейный оператор , то это соотношение удовлетворяет принципу суперпозиции. Подставим (*) в равенство , тогда

- эта величина должна быть чисто вещественной, тогда оператор - эрмитов:. Свойства оператора : В пределе перехода к классической механике: , то , где S – действие из классической механики. Причем , тогда рассматривая

, (**)

где - функция Гамильтона. В нашем случае, тогда учитывая предельный переход и (**), то:.

Получили волновое уравнение:

, - уравнение Шредингера.

Каждой системе ставится в соответствие Гамильтониан, решаем с гамильтонианом уравнение Шредингера и получаем волновую функцию которая определяет эволюцию системы.

20)Свободная материальная точка

Для свободной материальной точки .

, тогда переходим к стационарному уравнению Шредингера.

Это трехмерная задача

Оператор Лапласа

Оператор представим в виде суммы трех независимых операторов, которые коммутируют. В этом случае можно разделить переменные.

Тогда стационарное уравнение Шредингера запишется в виде

,

где

Для имеем

.

Обозначим

.

Тогда

Решение этого уравнения

Так как частица свободная, то импульс этой частицы сохраняется. Значит сохраняется направление движения частицы.

Мы выбираем движение частицы по направлению оси x. Тогда в силу сохранения импульса имеем .

Для трехмерного случая

Полная волновая функция

(***)

Рассмотрим теперь коммутатор

Так как импульс коммутирует с и не зависит явно от времени, тогда . Из этого следует:

1) -интеграл движения.

2)Собственная функция оператора импульса является решением волнового уравнения.

Найдем собственные значения оператора импульса.

{используем, что , т. е. } =

=.

Тогда собственное значение оператора:

Это первое дебройлевское соотношение.

Из (***) вводится - второе дебройлевское соотношение.

Используем, что

Уравнение (***) удовлетворяет собственной функции оператора импульса.

24. Неравенство Гайзенберга.

Канонически сопряженные величины одновременно неизмеримы – это принцип неопределенности.

Под канонически сопряженными понимаем величины и .

В квантовой механике для операторов и, которые поставлены в соответствие канонически сопряженным величинам имеем

.

Более того, а сам коммутатор имеет вид оператора.

Это можно записать в виде .

Если, то , тогда , где .

, т.к. и есть числа.

Обозначим . Здесь - единичный оператор.

Тогда из получим (*)

Введем обозначение

Подставим это в неравенство Коши-Шварца, тогда

Используем эрмитовость операторов

,

,

тогда

Поделим левую и правую части на , тогда

Используем определение среднего

,

тогда

.

Или

Операторы и не коммутируют, тогда

.

Первое слагаемое обозначим,.

Второе слагаемое.

Оператор дает чисто вещественное число, а дает чисто мнимое число.

Тогда

,

где .

.

Окончательно

.

В полученном неравенстве математически заложен принцип неопределенности Гайзенберга.

Если величина измерена точно, то ,т.е. .

Если , то величина A измерена точно и , но тогда для , т. к. . Из этого следует, что канонически сопряженная величина B не измерима.

Когда измеряем величину , то получаем спектр значений , которые выходят с вероятностью . Для того чтобы необходимо чтобы система находилась в состоянии .