Шпаргалки / вар3 / snd

1)Классическое и квантовое описание системы.

Имеется источник частиц, экран с достаточно узким отверстием. Картину наблюдаем на Э2

1)2)3)

При классическом описании опыт 3 давал бы сложение интенсивностей от опыта 1 и 2. Однако опыт 3 показал интерференционную картину, а это волновые свойства. Частица с определенной вероятностью проходит как через щель 1 так и через щель 2. Нельзя точно сказать через какую щель пройдет электрон.

Классическая интерпретация (с числом степеней свободы n=1) решается составлением уравнений в форме Гамильтона:

Можно найти траекторию частицы. В общем случае состояние механической системы определяется 2n динамическими переменными. Т. е. 2n начальных условий.Но опыт показал, что мы не можем определить траекторию частицы в микромире.Количество динамических переменных, которые могут быть одновременно измерены в микромире, в квантовой механике – n.

Скорость

Координата Если известна точка , то чтобы найти положение точки надо знать и одновременно, т. е. координаты и импульс должны быть измерены одновременно.Если мы знаем и , то можем построить траекторию электрона. Однако построить такую траекторию мы не можем (опыт № 3). Тогда мы не можем одновременно измерить p и q.

2)Принцип неопределенности.

Две формулировки:

1)В микромире понятие “траектория” отсутствует

2)Канонически сопряженные величины одновременно неизмеримы

В трехмерном пространстве канонически сопряженные величины будут:

p_x и x

p_y и y

p_z и z

Здесь n=3. Имеем 3 одновременно измеряемые динамические переменные. Например:

1. p_x. p_y. p_z

2. x, y, z

x, y, p_z и тд.

5)Волновая функция и ее свойства.Волновая функция динамических переменных и времени определяет состояние системы точностью до фазового множителя. Т. е.

, т. е. , описывает одно и тоже состояние, где - фазовый множитель.Волновая функция – комплексная, непрерывная, конечная. У нее почти всюду существует конечная производная по координате, но в некоторых точках может терпеть скачек (особые точки).Функции - нормируемые, т.е. квадратично интегрируемы. Но для свободной материальной точки не нормируема.

- элементарный объем

- вероятность того, что динамические переменные лежат в интервале.Это определение справедливо для квадратично интегрируемых функций.Для не квадратично интегрируемых функций величина пропорциональна плотности вероятности.

4)Полный набор динамических переменных

Полный набор динамических переменных – это наибольший набор независимых одновременно измеряемых динамических переменных.

Измерение полного набора динамических переменных полностью определяет состояние квантово-механической системы.

Число динамических переменных в квантовой системе - n и по сравнению с классической системой (2n) уменьшается в 2 раза.

Максимальный набор – это значит, что к этому набору не может быть добавлена ни одна другая переменная, которая не являлась бы их функцией. В этом случае они не зависимы. Каждая из этих переменных не является функцией другой переменной из этого же набора. Зависимость не, а функциональная.

8)Понятие о теории представлений

Представление – это совокупность переменных в которых решается задача, т. е. набор динамических переменных.

Рассмотрим одну материальную точку. Число степеней свободы n=3.

Здесь могут быть 2 случая:

Под понимаем : имеем -представление (координатное)

Под понимаем : имеем -представление (импульсное)

Операторы в -представлении:

Оператор координаты

Оператор импульса 

Здесь

Операторы в -представлении

Оператор координаты 

Оператор импульса

Здесь

6)Принцип суперпозиции состоянийЕсли мы имеем состояние системы, описываемое функцией , то суперпозиции этих функций отвечает некоторое состояние этой системы

Иначе: если - состояние некоторой системы, то суперпозиция этих состояний также является состоянием этой системы.

Отсюда получаем: уравнения, которым подчиняется - функция должны быть линейными.

Этот же вывод распространяется и на операторы и на операторы в квантовой механике. Принцип суперпозиции требует использования в квантовой механике линейных операторов.

12)Среднее значение измеряемой величины.

По определению

(1)

Рассмотрим оператор с дискретным спектром. Разложим по собственным функциям оператора :

(2)

По равенству Парсеваля

в силу линейности опе-ра заносим его под знак суммы

(3)

Подставляя (3) в числитель, а (2) в знаменатель для (1), тогда имеем

(4)

Из теории вероятности , где - вероятность получения , тогда

13)Вероятность результатов измерения

- вероятность того, что при измерении величины для системы, находящейся в состоянии мы получим результат .

Если система находится в состоянии , то величина при измерении выходит с вероятностью равной 1:

В общем случае .

Условие при котором собственная функция оператора описывает состояние системы:

Если полная производная оператора удовлетворяет равенству

Для непрерывного спектра, вероятность того, что результаты измерения величины A для системы, находящейся в состоянии , лежат в интервале , определяется следующим значением:

или плотность вероятности

15)Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии .

Будем использовать координатное представление (- представление). Будем рассматривать систему из одной материальной точки.

Действие сводится к умножению на вектор , т. е. (это определение действия оператора.

Здесь строго соблюдается последовательность операторов при раскрытии векторного произведения, например, первая компонента:

,

однако для частного случая декартовых координат порядок операторов не существенен.

Оператор энергии или Гамильтониан .

,

здесь - оператор кинетической энергии, - оператор потенциальной энергии.

Для одной материальной точки гамильтониан имеет вид:

Координата t – признак внешнего нестационарного поля.

Для одной материальной точки: . Тут присутствует и , но и одновременно не измеримы, тогда потенциальная и кинетическая энергия в квантовой механике не могут быть одновременно измерены. В квантовой механике существует понятие “энергия частицы”, но порознь вводить энергию нельзя, иначе либо , либо оказываются неизвестными.

21)Производная оператора по времени

Пусть средняя от величины , тогда .

Ставим в соответствие величине оператор , тогда величине ставим в соответствие .

Распишем: {ограничение } { и соотношение , }=

={}= => {распишем квадратную скобку операторов:

,но , тогда

}

В классической механике . []-скобки Пуассона.

В квантовой механике существует связь:

В пределе имеем.

В квантовой механике большинство операторов явно не зависят от времени и их частные производные равны 0.

22)Интегралы движения в кв. механике.

В классической механике , где , тогда A – интеграл движения.

В квантовой механике, чтобы величина , которой ставится в соответствие оператор , была интегралом движения нужно, чтобы .

Для того чтобы физическая величина сохранялась, необходимо и достаточно, чтобы .

1)т. к., то -значение момента импульса сохраняется, т. е. является интегралом движения.

2). - интеграл движения.

3). Отсюда следует. Что различные компоненты момента импульса одновременно не измеримы. А измерима только одна проекция .

4). Квадрат импульса одновременно измерим с любой компонентой момента импульса.

, тогда импульс не является интегралом движения.

17)Оператор Гамильтона различных систем.

Этот вопрос идентичен рассмотренной в классической механике будут те же соотношения, но для операторов

.

Поставим в соответствие конкретной системе операторы и :

В декартовой системе координат,.

Здесь n – число точек в системе.

.

- функция от оператора координаты.

Мы рассматриваем - представление, здесь

Мы рассматриваем декартову систему координат. Гамильтониан мы поставили в соответствие системе материальных точек. Эта система незамкнутая, т. к. потенциальная энергия зависит от времени. Перейдем к более простой задаче. Рассмотрим систему N материальных точек во внешнем стационарном поле

Здесь отвечает за внутреннее взаимодействие между частицами.

, отвечает за внешнее воздействие на систему частиц.

.Выражение, описывающее внешнее воздействие обладает аддитивностью, т. е..

Индекс a означает, что разные частицы могут взаимодействовать с внешним полем по разному закону. Если все частицы одинаковые и одинаково взаимодействуют с внешним полем, то индекс a убирается.Внутреннее взаимодействие неаддитивно. Рассмотрим случай свободной материальной точки. Соответственно она ни с чем не взаимодействует:

Тогда , или в -представлении, то , тогда . Если материальная точка во внешнем поле: , . Нестационарное поле .Стационарное поле .

Центральное поле .

Рассмотрим систему двух материальных точек. Мы рассматриваем частный случай – замкнутая система двух материальных точек.

В случае классической механики: .

Отсутствие t в энергии взаимодействия – это однородность времени и закон сохранения энергии.

Зависимость энергии от модуля есть изотропность пространства.

В квантовой механике в -представлении:

,

,

где

19)Стационарное состояние различных систем

Задача Штурма-Лиувилля для оператора: (*)

Волновое уравнение: (**)

Как только поставили в соответствие системе оператор , то можем решать волновое уравнение, находим , которая определяет состояние системы. Задача Штурма-Лиувилля дает собственные значения и собственные функции оператора.

Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля и функции, являющиеся решением волнового уравнения совпадают при условии выполнения:

, тогда . Это условие совместности решений (*) и (**).

Так как, то гамильтониан системы явно от времени не зависит, т. е. поле стационарно (задача стационарна) – это говорит о совместности решений (*) и (**).

Рассмотрим стационарную задачу, тогда не зависит от времени. Это либо:

1. Замкнутая система.

2. Система в стационарном внешнем поле.

Использую (*) и (**), получим

Это дифференциальное уравнение имеет решение

Подставим эту функцию в (*), тогда

.

Тогда получим

Получили стационарное уравнение Шредингера.

11)Решения задачи на собственные значения в случае операторов с дискретным спектром.

(1)-собственные функции

- собственные значения. Так как эрмитов, то его собственные значения вещественны. Расчет среднего . Если речь идет о физической величине, то -это волновые функции (описывающие состояние системы). Если речь идет о математическом аппарате, то - это любые функции.

Как частные случай рассмотрим , где - собственные ф-ии оператора . Тогда - это среднее значение величины в i-ом квантовом состоянии. Так как среднее – вещественно, то и собственные значения вещественны.

Для эрмитова оператора собственные значения вещественны . Все эрмитовы операторы имеют вещественные спектры.

Рассмотрим теперь

(2)

Умножая (1) скалярно на слева, получим

(3)

Теперь (2) умножаем справа на , тогда

(4)

Почленно из (3) – (4):

(5)т.к. - эрмитов, то Из 5 имеем

10)Решения задачи на собственные значения в случае операторов с непрерывным спектром.

- у собственной функции индексом является собственное значение. Собственные значения непрерывны, они сплошь заполняют соответствующую числовую ось.

Используем искусственную операцию – введем понятие собственных дифференциалов, по определению:

,

т. е. на числовой оси рассмотрим функции с равным весом на интервале .

Условие ортонормируемости: .

Здесь уже дает расходящийся интеграл, т. е. равен .

Собственные функции обладают свойством полноты, т. е. они образуют базис по которому может быть разложена любая функция:

, (13)

- равенство Парсеваля

23)Флуктуации физических величин.

Пусть есть - физическая величина, которая при измерении с вероятностью дает величину , тогда мы можем говорить о среднем и о дисперсии , где.

Мы вводили флуктуацию

,отклонение величины от ее среднего значения.

Перенесем все это на язык квантовой механики, т. к. физической величине мы ставим в соответствие.

Можно показать, что .Неравенство Коши-Шварца: Оно справедливо и для функциональных пространств, в том числе и для Гильбертова пространства, которое рассматривается в квантовой механике. Для двух векторов оно имеет вид имеет смысл тот, что .

,

Теперь если обозначить , , тогда будем также рассматривать статистическое усреднение . Отсюда получим из неравенства Коши-Шварца:

Теперь если определить . К тому же по определению из имеем Тогда . Из этого следует, что

. В случае квантовой механики заменяем на, тогда

25)Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: второе приближения.

Для членов второго порядка малости из

запишем

(9*)Теперь запишем для 2-го порядка выражение (5*):

(10*)Рассмотрим случай :

Получили поправку второго порядка малоси к энергетическому уровню основного состояния. Пусть j- основное состояние (так как спектр невырожденный). Тогда знаменатель в поправке второго порядка всегда отрицательный. Тогда поправка всегда отрицательна.

.

Рассмотрим теперь (10*): его можно в общем случае записать, учмтывая, что :

Рассмотрим случай :

Re= , Im=0

(11*)

Случай

Обычно пишут

Тогда

26)Спин: теория и эксперимент.

Рассмотрим Na. У него есть желтая линия . Возникает при переходе с уровня 3p на 3s.

Первоначально ее длина была 5892

Было обнаружено, что эта линия расщепляется на две: дублет.

Возникла идея расщепления уровня 3p на два, тогда можно объяснить возникновение двух линий.

Их длины: 5896 и 5890 .

В 1925 г. Была предложена гипотеза спина, т. е. собственного механического момента.

У электрона спиновое число s=0.5.

Впоследствии Паули ввел спин в теорию.

Если имеем одну частицу, то она характеризуется орбитальным квантовым числом .

Состовная частица (атом) состоит из многих микрочастиц. Можно рассматривать эту составную частицу вцелом и приписать ей момент, который описывает орбитальное движение частицы как целого.

Энергетический уровень этой составной частицы в некоторых полях будет зависеть от орбитальных моментов микрочастиц.

Эти моменты являются внутренним свойством этой составной частицы.

Можно рассматривать 2 момента:

1). Этот момент описывает внутреннее движение частицы (относительно центра инерции)

2)Частица сама движется по некоторой траектории.

У частицы есть еще квантовое число , характеризующее собственный механический момент.

Вводят оператор собственного механического момента:

По аналогии

Спин – внутреннее свойство частицы. Его смысл – у частицы есть внутренний параметр, который реагирует на вращение координат независимо от места положения частицы.

27)Спиновая переменная волновой функции

Рассмотрим одну частицу – система с 3 степенями свободы. Задача решается в - представлении. ,но есть еще внутренний параметр – спин, тогда.Здесь - переменная (пространственная координата) и (спиновая переменная, а именно проекция спина на ось ). Здесь мы рассматриваем стационарную задачу, поэтому от t не зависит. Скалярное произведение теперь запишем в виде

Вероятность обнаружения частицы в объеме вблизи точки :

Если хотим найти реализацию конкретного значения :

Рассмотрим действие операторов в пространстве четырех переменных

Было известно

(*)Обобщим (*) на случай четырех переменных:

(**)Рассмотрим случай когда действует только на спиновую переменную. В этом случае ядро будет следующим

и интеграл (**) переходит в интеграл:

Тогда

Переменная здесь не играет большой роли. В дальноейшем будем ее опускать, тогда

Функция имеет 2s+1 переменную.

29)Принцип тождественности.

Этот принцип в квантовой механике определенным образом связан с принципом Гайзенберга.

Если рассмотрим ансамбль одинаковых частиц, то идентификация этих частиц невозможна.

Одинаковые частицы обладают всеми одинаковыми внутренними свойствами (m, e, s, …). Мы не можем в квантовой механике ввести траекторию, тогда не можем различить одинаковые частицы.

Например, в электронном газе не отдельные частицы, а целый ансамбль. В такой системе – тождественные частицы.

В ансамбле одинаковых частиц реализуются состояния, инвариантные относительно их перестановок.

Т. к. частицы идентифицировать невозможно, то мы не можем различить состояния, которые вызваны перестановкой частиц.

32) Фермионы и бозоны

Все проводится по аналогии с и .

обладает коммуникационными свойствами:

Так как и не коммутируют, то они ондновременно не измеримы.

Но .

Собственные значения оператора:

, .

Тогда здесь всего 2s+1 значение оператора.

Перейлем к классическому пределу:

Ввиду связи имеем , .

Ясно, что так как - параметр частицы, то он не меняется ни при каких условиях, тогда в классическом пределе:

, .

В классической механике этим величинам аналога нет и они обращаются в нуль.

В случае спина мы не можем наложить условие , т. к. спин – внутреннее свойство частицы. Тогда не всегда целое число.

Если - четное, то -полуцелое.

Если - нечетное, то -целое.

Отсюда деление на 2 типа частиц:

1)Фермионы – спин полуцелый

2)Бозоны – спин целый.