19теплвипром
.pdf
19 ЗАКОНИ ТЕПЛОВОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ
19 ЗАКОНИ ТЕПЛОВОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ
ЗВЕДЕННЯ ОСНОВНИХ ФОРМУЛ
19.1 Закон Стефана-Больцмана
Re = ∞∫rω,T dω =σT 4 ,
0
де Re = WSt – енергетична світність абсолютно чорного ті-
ла; W - енергія, що випромінюється тілом за час t ; S - його площа; rω,T - випромінювальна здатність; ω - циклічна частота
випромінювання; T – термодинамічна температура; σ – стала Стефана-Больцмана [σ = 5,67·10-8 Вт/(м2·К4)].
19.2 Енергетична світність сірого тіла
Re = aTσT 4 ,
де aT – коефіцієнт чорноти (коефіцієнт поглинання) сірого
тіла.
19.3 Закон зміщення Віна
λm = Tb ,
де λ m – довжина хвилі, на яку припадає максимум енергії випромінювання; b – стала закону зміщення Віна
(b = 2,9 10−3 м К).
56
19 ЗАКОНИ ТЕПЛОВОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ
19.4 Формула Планка
r |
= |
2πhc2 |
1 |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
λ,T |
|
5 |
|
|
hc |
|
||
|
|
λ |
|
e |
|
−1 |
|
|
|
|
λkT |
|
|||||
r |
= |
hω3 |
|
1 |
|
, |
||
4π 2 c2 |
|
|
hω |
|||||
ω,T |
|
|
e |
|
||||
|
|
|
|
|
−1 |
|
||
|
|
|
kT |
|
||||
де rλ,T , rω,T – випромінювальна здатність абсолютно чор- |
||||||||
ного тіла; λ – довжина хвилі; |
ω – циклічна частота; c – швид- |
|||||||
кість світла у вакуумі; k – стала Больцмана; T – термодинамічна температура; h – стала Планка; h = 2hπ - стала Планка, розділена
на 2π ( h = 2hπ =1,05 10−34 Дж с ).
19.5 Залежність максимальної випромінювальної здатності від температури
(rλ,T )max =CT 5 ,
де C – стала [C = 1,30·10-5 Вт/(м3·К5)].
57
19 ЗАКОНИ ТЕПЛОВОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ
Приклад 19.1 Визначити енергію W , що випромінюється за час t =1 хв зі спостережувального вікна плавильної пічі площею S =8 см2, якщо її температура T =1,2 кК.
Розв’язання
W −?
S=8cм2 =8 10−4 м2 , t =1хв = 60 с,
T=1, 2 кК.
Потік енергії, яка випромінюється зі спостережувального вікна плавильної печі, дорівнює
Фе = Re S . |
(1) |
Енергетичну світність абсолютно чорного тіла, яким можна вважати це вікно, визначимо із закону Стефана-Больцмана:
Re =σT 4 . |
(2) |
Енергія, що випромінюється піччю, дорівнює
W =Фet . |
(3) |
Підставивши співвідношення (2) (3) в (1), одержимо
W =σT 4 St .
Після підставлення числових значень фізичних величин отримаємо остаточно:
W = 5,67 10−8 (1,2 103 )4 8 10−4 60 =5643,5 (Дж).
58
19 ЗАКОНИ ТЕПЛОВОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ
Перевіримо розмірність одиниць одержаної величини:
[W ] =[σ][T ]4 [S][t] =(Вт/м2 К4) K4 м2 с=Вт с=Дж.
Відповідь: W =5643,5 Дж.
Приклад 19.2 Як і у скільки разів зміниться енергетична світність абсолютно чорного тіла, якщо максимум енергії випромінювання переміститься з червоної межі видимого спектра
(λm1 = 780 нм) на фіолетову (λm2 |
=390 нм)? |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Потік енергії, що випроміню- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Фe1 Фe2 −? |
|
|
|||||||
|
|
|
|
ється тілом, дорівнює |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λm1 |
= 780 нм, |
|
|
Фе |
= Re S , |
(1) |
||||
|
|
λm2 |
=390 нм. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
де Re – енергетична світність |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
абсолютно чорного тіла; S - його |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
площа. |
|
|
|
||
|
Енергетичну світність абсолютно чорного тіла визначимо з |
|||||||||||
рівняння Стефана-Больцмана |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Re |
=σT 4 . |
|
|
(2) |
|
|
Для знаходження температури тіла скористаємося законом |
|||||||||||
зміщення Віна |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
λm = |
b |
T = |
b |
. |
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
λm |
|
||
Підставивши вираз (2) і (3) в (1), одержимо
59
19 ЗАКОНИ ТЕПЛОВОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ
Фе =σ( |
b |
)4 S . |
(4) |
|
|||
|
λm |
|
|
Для різних довжин хвиль потік енергії, що випромінюється тілом, визначається такими виразами:
Ф |
е1 |
=σ( |
|
b |
)4 S , |
(5) |
||
λm1 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Ф |
е2 |
=σ( |
b |
|
)4 S . |
(6) |
||
|
|
|||||||
|
|
|
λm 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
Розділивши рівняння (6) на (5), одержимо
Фе2 |
|
σ(b / λm2 ) |
4 |
S |
|
λm1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
|
4 |
|
= |
|
. |
(7) |
|
Фе1 |
σ(b / λm1 ) |
S |
λm2 |
||||||
|
|
|
|
|
Підставивши у вираз (7) числові значення величин, одер-
жимо
Фе2 |
= |
(780 |
10−9 )4 |
= (2)4 =16 . |
|
Фе1 |
(390 |
10−9 )4 |
|||
|
|
Відповідь: Фе2 =16 .
Фе1
Приклад 19.3 При збільшенні термодинамічної температури T абсолютно чорного тіла у два рази довжина хвилі λ m, на яку припадає максимум випромінювальної здатності, зменшилася на λ = 400 нм. Визначити початкову і кінцеву температури
T1 і T2 .
60
19 ЗАКОНИ ТЕПЛОВОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ
T1 −? T2 −?
Δλ =400 нм.
Розв’язання
У відповідності до закону зміщення Віна довжина, на яку припадає максимум випромінювальної здатності, дорівнює
λm = |
b |
. |
(1) |
|
|||
|
T |
|
|
Для різних довжин хвиль цей вираз запишеться у вигляді:
|
λm1 |
= |
b |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
λm2 |
= |
b |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
За умовою задачі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ = λm1 −λm2 = |
|
|
b |
− |
b |
. |
(4) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
T2 |
|
||||||
Врахуємо, що T2 = 2T1 , тоді одержимо |
|
|
|
|||||||||||||||||
λ = |
b |
− |
|
b |
= |
|
b |
. |
|
|||||||||||
T |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2T |
|
|
|
2T |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
Звідси |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
T |
= |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
2 |
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
T |
= 2T = |
|
. |
|
|
(6) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
||||||
61
19 ЗАКОНИ ТЕПЛОВОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ
Підставивши у вирази (5) та (6) числові значення величин, одержимо
T = |
2,9 10−3 |
|
3 |
(К), |
|
|
=3,625 10 |
||||
2 400 10−9 |
|||||
1 |
|
|
|
||
T |
= 2T =7,25 103 |
(К). |
|
||
2 |
1 |
|
|
|
|
Перевіримо розмірності одиниць одержаної величини:
T = |
[b] |
= м К м = К . |
|
[λ] |
|
Відповідь: T1 =3,625 103 К; T2 = 7,25 103 К.
Приклад 19.4 Муфельна піч, яка споживає потужність N = 1 кВт, має отвір площею S = 100 см2. Визначити частку ω потужності, що розсіюється стінками печі, якщо температура її внутрішньої поверхні дорівнює T =1 кК.
|
|
|
|
Розв’язання |
|
|
|
|
|
Потік енергії, що випромінюється че- |
|
|
ω - ? |
|
|
||
|
|
|
рез отвір муфельної пічки, дорівнює |
||
|
|
|
|
|
|
N = 1 кВт=103 Вт, |
, |
Фе = Re S , |
(1) |
||
S = 100 см2=10-2 м2 |
|
|
|||
Т = 1 кК = 103 К. |
|
де Re -енергетична світність отвору. |
|||
|
|
|
|
||
Отвір муфельної пічки можна розглядати як абсолютно чорне тіло, звідси, скориставшись законом Стефана-Больцмана, можна записати:
Re (T )=σT 4 . |
(2) |
Підставивши цей вираз у (1), отримаємо
62
19 ЗАКОНИ ТЕПЛОВОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ
Фe (T )=σT 4 S .
Скориставшись законом збереження єнергії, запишемо
ηN =Фe (T )=σT 4 S .
Звідси
η = σT 4S .
N
Підставивши числові значення фізичних величин, отримаємо відповідь
η = 5,67 10−8 (103 ) 100 10−4 =0,57. 103
Перевіримо розмірність одиниць одержаної величини:
[η] = [σ][T ]4 [S] =((Вт/м2 К4) K4 м2)/Вт=1. [N ]
Відповідь: η = 0,57 .
Приклад 19.5 Розрахувати істинну температуру T розжареної вольфрамової стрічки, якщо радіаційний пірометр показує температуру Tрад = 2,5 кК . Прийняти, що поглинальна здатність
для вольфраму не залежить від частоти випромінювання і дорів-
нює аТ =0,35 .
63
19 ЗАКОНИ ТЕПЛОВОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ
|
|
|
|
|
Розв’язання |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т - ? |
|
|
|
Tрад |
Радіаційною |
температурою |
||
|
|
|
називається |
температура |
при |
|||
|
|
|
|
|||||
Трад = 2,5 кК = 2,5 10 |
3 |
К, |
|
якій |
енергетична |
світність Re* |
аб- |
|
|
|
солютно чорного тіла |
дорівнює |
|||||
аТ = 0,35. |
|
|
|
|||||
|
|
|
енергетичній світності Re |
тіла, що |
||||
|
|
|
|
|||||
досліджується при його справжній температурі T: |
|
|
||||||
|
|
|
|
Re* (Tрад )= Re (T ). |
|
|
(1) |
|
Енергетичні світності чорного та сірого тіл знайдемо з |
||||||||
закону Стефана-Больцмана: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
Re* (Tрад )=σTрад4 , |
|
|
(2) |
||
|
|
|
Rу (T )= aσT 4 . |
|
|
(3) |
||
Підставивши вирази (2) (3) у (1), одержимо |
|
|
||||||
|
|
|
σTрад4 = aσT 4 . |
|
|
(4) |
||
З цього співвідношення істинна температура вольфрамової стрічки дорівнює
T = 4 1a Tрад .
Після підставлення числових значень фізичних величин отримаємо
T = |
|
1 |
2,5 103 =3250(K ). |
|
0,35 |
||
4 |
|
||
Відповідь: Т=3250 К.
64
19 ЗАКОНИ ТЕПЛОВОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ
ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ
19.1 Визначити енергію, яку випромінює поверхня розплавленої платини площею S =50 см2 за t =1хв, якщо поглинальна здатність платини aT = 0,8 . Температура плавлення платини дорів-
нює Т =17700 C .
Відповідь: W = 237 кДж.
19.2 Середня енергетична світність поверхні Землі дорівнює Re = 0,54 Дж
(см2 хв). Якою має бути температура Т поверхні
Землі, якщо умовно вважати, що вона випромінює як сіре тіло з коефіцієнтом чорноти аТ =0, 25 ?
Відповідь: Т = 280 К .
19.3 Беручи коефіцієнт чорноти вугілля при температурі Т = 600 К таким, що дорівнює аТ =0,8 , визначити: а) енергети-
чну світність Re вугілля; б) енергію Wе , випромінювану з поверхні вугілля площею S =5см2 за час t =10 хв.
Відповідь: Re =5,88 кДж
(м2 с); Wе = 1,76 кДж.
19.4 Визначити відносне збільшення Re/Re енергетичної світності абсолютно чорного тіла при збільшенні його температури на 1%.
Відповідь: Re/Re = 4%.
19.5 Визначити, у скільки разів необхідно зменшити термодинамічну температуру чорного тіла, щоб його енергетична світність зменшилася у 16 разів.
Відповідь: T1 
T2 = 2 .
19.6 Яку температуру має тіло, яке при температурі навколишнього середовища Т =170 С випромінює енергії в n=100 разів
більше, ніж поглинає?
Відповідь: Т =916 К .
65