Свойство однородности пространства.

Транс. в пр-ве – перемещение системы как целого на одно расстояние вектора.

Замкнутая система:

однородность пространства обозначает инвариантность f-ций Лагранжа относительно преобразований пространства.

Инвариантность:

Уравнение движения:

P_x=c₁

P_y=c₂

P_z=c₃ Если система и уравнение движения инвариантны, то пространство однородно и импульс сохраняется.

Если пространство однородно на 1 или 2 направлении из 3-х, то по этим направления импульс сохраняется.

Циклические координаты.

Координаты от которых функция Лагранжа явно не зависит, называется циклической.

i-ая обобщенная координата

Обобщенный импульс.

для циклической координаты

задача двух тел и сведение её к эквивалентной – одномерной.

Момент импульса:

изотропное пространство:

если однородное пространство говорит о том, что мы любую точку можем выбрать начальной координатой, то изотропное пространство является следствием инвариантности относительно имеет следствие к тому, что любое направление можно взять начальным.

Центральное поле – сферически симметричное.

Для замкнутой системы имеет место инвариантность системы как целого относительно любых вращений (вокруг любой оси).

Изменение вектора при бесконечно малом повороте.

δφ

инвариантность относительно вращения

приводит к сохранению

момента импульса М.

θ

изотропность пространства имеет следствием закон сохранения момента импульса.

Каждой проекции момента импульса соответствует ось вращения относительно которой имеет место инвариантность системы.

Если поле допускает –

Вращение инвариаций относительно некоторой оси, то в этом случае имеет место закон сохранения проекций М на эту ось.

Замкнутая система M=const.

Система, находящаяся во внешнем поле с осевой симметрией допускает закон сохранения проекций М на эту ось.

Задача:

Замкнутая система двух материальных точек.

L(......)=T-U; U – не зависит от времени. Т=Т₁+Т₂

однородность пространства:

r=r₁+r₂ U=U(r)

r₁ R

0 r₂

R – Центр масс, r – радиус-вектор определяемый положением второй точки относительно первой.

R-циклическая координата

M, R, V, m₁, r₁, v₁,

m, r, v, m₂, r₂, v₂,

R – Циклическая, следовательно ей соответствует интеграл движения.

0 r

относительно центра поля момент импульса равен 0.

r и p – в одной плоскости, следовательно частица движется в одной плоскости.

Если

2 степени свободы.

φ – циклическая координата.

эффективный потенциал.

U_эф

r₁ r₀ r₂

U

Одномерная задача:

1. E=U; T=0; мат. точка останавливается и начинает падать на центр.

E=U_ef; r^|=0; точка поворота: по касательной к кривой.

2. если min – точка движется по окружности: E=minU_ef

3. r_- , r₊ - точки поворота, движения в пространстве – эллиптическое.

y

b

r

r_- 0 a r₊ x

4. E=0; эллипс переходит в параболу.

5. E>0 – гипербола.

Финитное и инфинитное движения.

Финитное движение – движение в ограниченной части пространства (вся траектория в конечном объёме). Если траектория уходит в бесконечность – инфинитное движение (гипербола и парабола, 4 и 5 вид движения)

U

Лекция 5: малые колебания.

U=U(q)

0 1 2 q

- условие экстремума определяю точки равновесия системы

> неустойчивое < - устойчивое равновесие, вывод из равновесия приводит к стремлению вернуться в это положение.

Рассмотрим 1.

Если систему вывести из равновесия и предоставить самой себе, она будет совершать колебания вблизи этого положения. Диссипативные силы отсутствуют – незатухающие колебания.

Колебания системы с одной степенью свободы.

q₀ – положение равновесия (устойчивое)

если последние слагаемые меньше, чем предыдущие, то это малые колебания.

- критерий малости колебаний – гармонические.

Если последние слагаемые необходимо учитывать, то колебания – ангармонические – нелинейные.

дисперсионное уравнение:

=0 – дисперсное уравнение.

Алгебраическое уравнение, которое ставится в соответствие дифференциальному после подстановки

- изменяема величина – физический смысл.

условие не тривиальности решения (1):

Лекция №6.

Колебания системы с n степенями свободы.

L=T-U;-стационарная задача.

Будем считать, что последними членами можно пренебречь, если () достаточно мал.

=k_ij – матрица – положительно определённая.

k_ij>0 - обозначение устойчивого положения равновесия.

0,5;

m – Некоторая коэффициентная масса в декартовой С.О.

кинетическая энергия – квадратичная форма скоростей.

L=T-U=

1 2 3 4 матрица положительна, если все миноры >0 – правило Сильвестра.

Уравнение движения:

получаем: ;

Условие не тривиальности решения:

det[ ]=0 – дисперс. уравнение.

дает n корней. , p – индекс собственной частоты.

решением дисперсионного уравнения является спектр собственных частот.

координаты, которые совершают колебание по такому закону в спет. с n степенями свободы – нормальные координаты.

- исходные координаты.

- решение нормальных координат.

система разбивается на n независимых одном. осцилляторов. Получим легко их решения.

Решение – суперпозиция всех осцилляторов.

Эллипсоид:

приведём матрицу к диагональному виду. Решение требует 2n начальных условий.

Лекция№7

Преобразования Лагранжа.

Лагранж.

, - динамические переменные

Гамильтон:

Каноническое уравнение (движения) Гамильтона.

n уравнений 2го порядка.

Динамические переменные в методе Лагранжа и Гамильтона.

p_i,q_i – динамически сопряженные.

Лекций №8

Описание эволюции системы в фазовом пространстве.

q₃ n=3; n=DN-K;

q₁

q₂

механическое состояние (динамическое)

зная

Метод Гамильтона:

Фазовое пространство – пространство обобщенных координат и обобщенных импульсов.

точка в фазовом пространстве – фазовая точка. Эта точка описывает состояние системы.

(p,q) – состояние системы с 1ой ст. св.

траектория фазовая – описывает эволюцию системы.

n=1

p

q

Свойства Функции Гамильтона.

Функция Гамильтона простых систем (материальная точка). 1, i=j

L=T; U=0,

0, i ≠ j

единичный симметричный

тензор 2го порядка символ Кронекера

свободная материальная точка.

H=T= ;

плоский математический маятник.

φ

m

Определённый интеграл движения в методе Гамильтона.

{f,q}=[f,q] – скобки Пуассона

если I явно не зависит от времени 0, то 0, следовательно [H,I]=0

H=T+U; H – энергия при стационарных связях. H=const=E

H - интеграл движения.

- условие того, что энергия – интеграл движения – энергия сохраняется – стационарное поле (условие) – силы консервативны.

Скобки Пуассона и их свойства.

3.Тождество Якоби.

4.если f₁ и f₂ – интегралы движения, т.е. , то и [f₁,f₂] – такиеже интегралы движения.

Теория поля.

1, i=j

условие ортонормированности при =1 0, i≠j

φ, где φ – скалярная функция

- единичный антисимметричный тензор (символ) третьего ранга.

1, i,j,k-(1,2,3) – четная перестановка

e_ijk=-e_jik= 0, i=j или…

-1, (i,j,k)-(2,1,3) – четная перестановка

- проекция векторного произведения на i

Уравнения Максвелла.

Вакуум:

источники поля:

- плотность (объемная) заряда.

- плотность тока.

2 по правилу правого винта определяем

dS

dS 1

*,** - уравнения с источниками поля.

По источникам рассчитываем эл.-м поле

Закон сохранения заряда.

плотность тока – поток заряда.

j

если поток положительный, то заряд бывает.

Потенциал электромагнитного поля.

- скалярный и векторный потенциал.

векторный потенциал определяется напряжением магнитного поля.

Градиентная инвариантность:

такое использование потенциалов обнаруживает их неоднородность, т.е. потенциалы могут отличаться, а поя будут одинаковы.

инвариантность относительно преобразований.

- инвариантность, относительно преобразований потенциала.

Результаты, имеющие различный смысл, должны быть градиентно-инвариантны.

Объёмная плотность точечного заряда.

h(x) 1, x>=0

h(x)=

0, x<0

0 x

функция Хабисайда

, кроме точки отсчета.

Теория обобщенных функций.

-дельта операция Дирака.

1, x>=x₀

h(x, x₀)=

0, x<x₀

h^|(x, x₀)=δ(x-x₀) – одномерная функция

δ(x)= δ(-x)

x₀

δ(x) = ∞, x=0

= 0, x ≠0

[если φ-const]

0, r≠0

1)δ(-)=

≠0, r=0

2)F=const

3)

q

0

q наблюдатель

₁

₂

Типы калибровки.

калибровка – дополнительное соотношение накладывается на потенциалы в силу градиентной инвариантности.

1)Калибровка Лоренса:

∆ - оператор Лапласа

=ٱ – оператор Даламбера.

ٱF=0 – волновое уравнение или однородное уравнение Даламбера.

2)Калибровка Кулона

- закон Кулона

3)Калибровка поперечных волн:

если φ=0 то остается только векторный потенциал

Уравнение Даламбера:

для потенциального электромагнитного поля.

Калибровка Лоренца:

вводим оператор Даламбера:

ٱ из уравнений Максвелла с учетом калибровки Лоренца:

ٱ

Калибровка Лоренса приводит к стандартному уравнению Даламбера для потенциала

Сплошная среда – модель, заменяющая реальную среду.

однородная среда – инвариантна относительно трансляций.

изотропная – свойства среды инвариантны относительно вращения.

если точка такая одна – центральная симметрия.

ξ, μ, σ –проводимость.

усреднение у Сивухина

-неоднородная среда (зависит от )

ξ-const – однородная среда.

Анизотропия – описывается ξ_ij – тензор диэлектрической проницаемости.

Уравнение Максвелла для электромагнитного поля в среде без пространственно-временной дисперсии.

Уравнение по ансамблю (среднестатистическое)

Ансамбль – множество образцов с одинаковыми свойствами, но разными характеристиками в каждой отдельной точке, т.к. атомы расположены иначе, следовательно, свойства разные.

y параметр А[A,A+dA];

найти вероятность попадания по частоте

появления данного числа.

А=1…. - 5 5\N-частота появления

А=2 - 3 множество А - ансамбль

x

W_i, A_i

- для непрерывного. вероятность, что А попадет в заданный интервал.

- плотность вероятности величины А.

Величина поля (объекты усреднения):

- локальная связь.

пространственно-временная дисперсия имеет место, если процессы быстропеременные.

<A> - статистическое уравнение

{A} – по объему и по времени усреднено.

Эргодическая гипотеза – утверждает, что < >={}, среднее по объему равно среднему по ансамблю.

{} - эксперимент

<> - теоретически.

если в среде:

Если усреднять : <>==

их можно усреднить

Под действием внешнего поля среда поляризуется. Это описывается двумя векторами:

- вектор поляризации

- вектор намагниченности.

2.

1.

если поля меняются быстро, то Р и М отделить невозможно и переходят на теорию с пространственно-временной дисперсией и М нет, и теория на языке Р.

Потенциалы электромагнитного поля в среде.

после усреднения:

Функциональные соотношения:

D=D(E) без учета пространственно-временной дисперсии

B=B(H)

j=j(E)

- если среда во внешнем электромагнитном поле.

если пространственно-временная дисперсия не учитывается, то

P=P(E)

M=M(H)

1) D=D(E)

2) B=B(H)

3) j=j(E) y=y(x) по Тейлору разложим:

ограничивается линейными слагаемыми.

Среды, для которых нужно учитывать последующие члены называется нелинейной.

Мы рассмотрим только линейные.

Среды, для которых индукция отлична от нуля (E=0,D≠0,D=D₀), то эти среды – пироэлектрики (имеется собственная поляризация) (пример – сегнетоэлектрики)

- условие стационарности

-при стационарных полях.

ٱ

ٱ при стационарном поле уравнение Пуассона

однородное уравнение Пуассона – уравнение Лагранжа

ٱмагнитостатика

Функция Грина(или функция источника). Уравнение Пуассона.

источник

наблюдатель

r₂

r₁

G – функция Грина

Рассчитываем функцию Грина для неограниченной области: G в зависимости от координат упрощается.

физический смысл функции Грина: поле, создаваемое точечным источником в r₁, где поле считается в r₂

Свойства симметрии функции Грина:

если поменять источник и поле местами, то ничего не изменится.

q

r

неоднородное уравнение. Решение = решение общего однородного + частного неоднородного.

Поле, созданное системой источников = сумме полей, создаваемых в отдельности каждым.

рассмотрим потенциал:

частное решение неоднородного ур

электростат:

магнитостат:

Прибл. линии тока:

если проводники меняются I – сумма их.

Анизотропия – зависимость свойств от направления.

влияет на тензорные характеристики.

- диэлектрическая проницаемость

- магнитная проницаемость.

Матрица не является тензором, преобразования при преобразовании координат.

- вызывает преобразование компонент вектора.

уметь подставлять заданному преобразованию матрицу в соответствие:

;

- тензор 2го порядка. 2 матрицы.

Свойства симметрии кристаллов:

каждому кристаллу нужно поставить в соответствие декартова основания.

Осуществляя некоторые преобразования, наблюдаем совпадение полученного образца с исходным. Следовательно кристалл инвариантен относительно этого преобразования.

Надо найти эти преобразования:

- они образуют группу симметрий, следовательно поле симметрично.

Каждому преобразованию ставим в соответствие матрицу, следовательно преобразование матрицы тензора совпадает с исходным.

- инвариантность, следовательно некот. совпад. комп. тензора. не все независимые.

- в простом варианте симметричны

констант.

Условия на границе двух сред.

Гаусса-Острогацкого-Стокса

- скачек функции f на границе раздела.

n

h

2 h

1

Квазистационарное магнитное поле.

-const - однородное

условие квазистационарности:

1е условие квазистационарности в Гауссовых ед.

() т.к.

Нелокальность связи:

2. L<<λ, λ – либо длинна волны, либо параметр, характеризующий неоднородность поля

здесь, например поле меняется.

- длина и время свободного пробега. сравнительно малы относительно параметров поля.

Глубина проникновения поля:

- размерность

Однородность уравнений Эйльгольца

глубина проникновения поля

с ростом z поле убывает

проводник

Квазистационарное поле убывает в е раз

расстояние, на которое поле убывает в е раз – глубина проникновения.

Уравнения Максвелла для электромагнитных волн в вакууме.

нормальные волны – волны, существующие в отсутствии источников.

запишем соответствующее им уравнения потенциалов.

ٱٱ нениеурав волновое

ٱ

E и H совершают колебания в плоскости ортогональной волновому вектору.

ٱ

в вакууме волны не затухают, следовательно постоянна амплитуда и фаза, определяющие состояние волны.

U=const – фронт волны – поверхность точек в одинаковой фазе.

скорость перемещения фронта волны или фазы – фазовая скорость.

Вектор ортогонального фронта волны – волновой вектор k.

- параметры воны.

- параметры пространственно-временной периодичности поля.

1. плоская

2. цилиндрическая

3. сферическая

Плоская волна.

- уравнение плоскости.

k

1

2

фронт

0

1)∆ - оператор Лагранжа

2)∆+k²₀-Фейтенгольца

3)ٱ – Даламбера = ∆-

Квазистационарность

Простейшие решения: классификация по типу фронта волны.

1) плоские

2)цилиндрические

3)сферические

Вакуум (затухание=0), амплитуда постоянна.

уравнение фронта волны φ=const

фазовая скорость – скорость перемещения фронта волны (скорость перемещения фазы).

- уравнение фазовой скорости.

Направление в котором распространяется плоская волна – ось Х – упрощаем

если в разные стороны и х, следовательно

плоская волна – монохроматическая (т.к. частота одна)

В цилиндрической и сферической нужно рассматривать потоки энергии.

2πrH – площадь цилиндрической поверхности.

условие сохранения энергии, излучаемой нитью:

Сферическая волна:

Плоская волна (возможно разложение по спектру излучения). Решение уравнения:

y

фронт волны

x

z

ٱ

ٱ

ٱ

произведение коэффициентов перед интегралами должен давать ;

-плоская монохр. волна

35