Московский институт электронной техники

Технический университет

А.Г. Фокин

Теоретическая механика и теория поля

(конспект лекций)

Математический аппарат в теоретической физике (механике).

1. Обобщенные координаты.

2. Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве.

Для, того чтобы задать пространственное положение системы нужно координаты. В простейшем случае – декартовые координаты:

Материальная точка (м.т.) DN – число координат, которое необходимое для

Размер пространства (D) задания координат.

Число точек (N) Связи – любое ограничение, накладываемое на движение системы.

r₁ , r_N ; r_a=(x_a,y_a,z_a); r_ai-номер проекции на ось. x – 1

y – 2 D=3

z - 3

Голономные связи – могут быть выражены через координаты точек через равенства:

R_N=(r₁ … r₂)

φ_α(R_N,t)=0 – уравнение k^-атой связи. α€[1;k],k – число связей.

Если присоединить время, то связь не стационарная – усложняет теорию.

Стационарные связи.

φα(R_N)=0; k-уравнений, k – координаты могут быть выражены через другие. n≡DN-k

n – число степеней свободы – число независимых координат (перемещений), задающих пространству положение системы, они независимы.

Любые независимые переменные, полностью определяющие пространственное положение системы, называется обобщенными координатами.

Плоский математический маятник.

k

0 Y

D=2

n=1

l

φ

l=√x² + y² = const

уравнение связи (голономная)

n=2*1-1=1

m x=l*cosφ

y=l*sinφ

X

3. Конфигурационное пространство.

Пространственно обобщенных координат – конфигурационное пр-во (воим – это угол). Как правило ортогонально.

q_i , i€[1,n]

q – n-мерный вектор.

D=3

1

q

изображенная 2

траектория

изображение

точки

конфигур. реальное

пр-во

q

q^| - полная производная по времени- скорость.

dq_i /dt≡q^|_i ≡ тождественно или по определению.

Эволюция системы – развитие системы – движение изображения точки по изображенной траектории, которая соответствует движению реальных точек в реальном пространстве по реальным траекториям (в механике).

Задачей в механике является описание эволюции системы (механической).

Набор обобщенных координат и скоростей – динамические элементы.

[q + q^|] – динамические элементы (переменные).

Этот вариант динамических переменных используется в методе Лагранжа.

Лекция №2 Принцип наименьшего действия

Вариация – изменение функции для данной координаты

Вариации координат и функций.

y=y(x); dy=y^/ * dх;

2 dx→0;dy→0;

δy

y(x)

dy

dx

1

x

Вариации бесконечно малые (произвольные)

q₂ t₂

δq

δq₁,δq_i;; →δq_i в общем случае.

L=L(q) Эйнштейн

F=f(q)=

t₁

q₁

Рассмотрим линейную часть по приращению первой вариации.

n=1 δF(q)=F^|δq=δq

; ;

Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона).

Из всех возможных траекторий движения системы в этом конф. пространстве реализуется та, для которой вариация действия равна 0.

функционал t.

L – функция Лагранжа (функция динамических переменных)

δS=0уравнения движения Лагранжа.

Конечные точки траектории зафиксированы→вариации координат в эти моменты равны 0.

,; ;δ, - коммутат. (перестановочные)

δq_i→; ;

;

- вариация на концах = 0

;подъинтегральное выражение = 0;

вариации координат не зависимы линейно. F_i=0 →

Функция Лагранжа и её свойства.

L=T(кинетическая энергия)-U(потенциальная энергия)

U=U(x,t) – внешнее поле не стационарно.

U=U(x) – стационарное поле.

Если U(x)=0 то свободная материальная точка.

1. Уравнение движения Лагранжа инвариантно

; ;

;т.к. функции через вариации координат, а они на концах равны 0.

Функция Лагранжа простейших систем.

для 1 м.т.

n=D

система n материальных точек.

Кинетическая энергия материальных точек аддитивна.

экстенсивный параметр – параметр зависит от размеров системы

потенциальная энергия:

U включает взаимодействия 1) из вне

2) между частиц (внутри)

внешнее воздействие аддитивно.

N=3 1 2

3

N=2: U_int=U₁₂

L=T-U

а) стационарное поле

б) замкнутая система

- для замкнутой системы

Пространство замкнутой системы двух материальных точек.

одинаковые частицы:m₁=m₂

маятник: D=2;n=1

k=1

;U=mgl(1-cosθ)

l

θ

m

Можно получить уравнение движения Лагранжа.

рассмотрим малые колебания:

Свойства симметрии пространства и времени.

Для замкнутой системы реализуются свойства:

1. однородности времени

2. однородности и изотропности пространства.

t₁,t₂ – начало наблюдения для системы. Для замкнутой системы выбор роли не играет.

Свойства однородности:

,τ-время смещения начала отсчета.

f(t)

-обобщенная координата, - обобщенная скорость

используя формулу:

Интеграл движения.

Рассмотрим функцию динамических переменных и времени.

- сохраняющая своё значение при эволюции системы (при движении в конфигурационном пространстве).

Определение:

интеграл движения 1-я функция динамических переменных и времени, сохраняющая свое значение при движение системы в конфигурационном пространстве по избранной траектории

в случае стационарных связей этот интеграл движения есть энергия.

Метод Лагранжа T+U=E

Закон сохранения энергии – следствие однородности времени для замкнутой системы.

=0 E=const – для стационарных внешних полей.