Свойства преобразования Лапласа
Будем предполагать, что рассматриваемые
далее функции
являются оригиналами. Соответствующие
им изображения (при Rep>σ0, i=0,1,…,n)
обозначим
.
1.
Линейность. Если
- оригиналы, то для любых комплексных
чисел сi, i=1,…,n,
функция
также является оригиналом и справедливо
равенство
или
(
6)
Заметим, что для функции
существенно, что все слагаемые являются
оригиналами, так как, например, функция
является оригиналом, а слагаемое
и
не являются.
Справедливо и обратное утверждение:
если
- изображение, то
Здесь также важно, что слагаемое функции
являются изображениями, поскольку из
того, что
- изображение, не следует, что
- изображения. Например, функция является
изображением, а слагаемое
и
не являются.
Пример.
Найти изображение функции
.
Используя формулу Эйлера (2.11), получаем
Из примера при a=i и a= ‑i
следует:
.
Тогда по свойству линейности
.
2.
Подобие (теорема подобия).
Для любого а>0 из
следует
(
7)
обратно:
.
Пример
5.6. Найти изображение
функции
.
Из примера следует, что
.
Тогда по теореме подобия
.
3.
Смещение (теорема
смещения). При любом комплексном а из
следует
(
8)
Т.е. умножению оригинала
соответствует смещение изображения на
а.
Пример
5.7. Найти изображение
функции
Из примера следует
Тогда по теореме смещения
4.
Запаздывание (теорема
запаздывания). Для любого
из
следует
(
9)
Где
(рис.3), т.е. запаздыванию оригинала на
соответствует умножение изображения
на
.
Рис. 3
Пример.
- функция.
Из примера имеем
.
Применяя свойства линейности и
запаздывания, получаем
Заметим, что, находя придел при
в последнем выражении, можно получить
изображение
-
функция
:
Замечание. Дельта – функция часто
встречается в инженерных приложениях
как идеализация импульса конечной
длительности. В теории автоматического
регулирования и управления
- функция вместе с единичной ступенчатой
являются типовыми входными воздействиями.
Очевидно, изображение Дельта - функции не удовлетворяет необходимому условию. Этот факт свидетельствует о практическом требовании расширения понятия оригинала. Дельта - функция относится к обобщенным функциям и задается соотношением
(
10)
5.
Дифференцирование оригинала.
Если функции
являются оригиналами и
,
то
(
11)
Где
Пример.
Найти изображение
,
если
Из примера следует, что при а=-1, b=3
Н
айдем
.
Согласно (11)
6.
Интегрирование оригинала.
Если функция
является оригиналом и
,
то
(
12)
Т.е. интегрированию оригинала соответствует деление на р.
Пример.
Найти изображение интеграла
от функции
Из примера следует, что
.
Тогда
,
т.е.
.
7.
Дифференцирование изображения.
Если функция
является оригиналом и
,
то
(
13)
Пример.
Найти изображения функций
.
Из примера следует, что
.
Согласно (13) при
получаем
или по свойству линейности
.
При
имеем
.
Аналогично
.
8.
Интегрирование изображения.
Если функция
является оригиналом, то из
следует
(
14)
Пример.
Найти изображение
.
Функция
является оригиналом, так как
(условие «в») и точка
является точкой разрыва первого рода
(условие «б»). Из примера, следует
.
Отсюда
9.
Умножение изображений (теорема
Бореля). Из
и
следует
(
15)
т.е. свертке оригиналов соответствует
произведение изображений. Функция
определяется формулой
(
16)
и называется сверткой
оригиналов
и
.
Пример. Найти оригинал, соответствующий изображению
Представим
в виде произведения изображений:
И
з
примеров следует
Согласно (15) и (16) получаем искомый оригинал:
10. Дифференцирование свертки (интеграл Дюамеля). Согласно свойствам 9 и 5 найдем преобразование Лапласа от производной свертки двух функций:
С другой стороны,
или, применяя правило дифференцирования интеграла, зависящего от параметра имеем
Здесь при дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, применялась формула Лейбница, которая для общего случая имеет вид:
Объединяя полученные результаты, можно записать:
(
17)
Формула (17) называется интегралом Дюамеля. Интеграл Дюамеля применяется для решения дифференциальных уравнений.