Из чертежа видно, что

пределы интегрирования

будут и

(рис. 3).

Рис. 3 .

(кв. ед.).

Пример 51. вычислить длину одной арки циклоиды

(рис. 4).

Решение: Из соотношения видно, что значениесоответствует,

соответствует ,

. Так как уравнение линии

задано в декартовых координатах

(вид в), то используем формулу (2в),

табл.: ,.

Рис. 4

.

Пример 52. Вычислить длину кардиоиды ,

соответствующую .

Решение: Уравнение кривой задано в полярных координатах, следовательно, при решении воспользуемся формулой (2д). Изменение задано, следовательно, выполнение чертежа необязательно.

(ед. длины).

Пример 53. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной параболойи осью(рис. 5).

Решение: Парабола расположена ветвями вниз, вершина находится в точке, и осьпересекает в точках. Для решения воспользуемся формулой (3а), табл.

(куб. ед.).

Рис. 5

Пример 54. Вычислить объем тела, образованного вращением гиперболы , отсеченной прямыми, вокруг оси(рис. 6).

Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой (3б), табл.

;,

находим из уравнения параболы:

Рис. 6 (куб. ед.).

Замечание: Иногда при решении задач полезно использовать рекуррентную формулу:

Знак (двойной факториал) означает произведение целых чисел, начиная с, через одно с убыванием. Например,(только нечетные множители).