3.2.2.2 Моделирование и прогнозирование рядов динамики

Для характеристики интенсивности изменения явления во времени необходимо рассчитать следующие показатели: абсолютные приросты, темпы роста и прироста, а также средние показатели. Все эти показатели определяются по формулам:

Абсолютный прирост Темп роста

базисный – y_б= y_i – y₁; базисный – T_pб = y_i / y₁*100;

цепной – y_ц= y_i – y_i–-1. цепной – T_pц = y_i / y_i–-1*100.

Темп прироста

базисный – T_пpб = T_pб – 100;

цепной – T_пpц= T_pц – 100.

Средний абсолютный прирост

Среднегодовые темпы роста и прироста

Средний уровень ряда

Рассчитанные показатели по каждому году принято оформлять в виде таблицы, например, таблицы 6.

Таблица 6. Динамика производства продукции по предприятию за 1994-2000 гг.

Год	Показатель yi	Абсолютный прирост, единиц		Темп роста, %		Темп прироста, %
		базисный	цепной	базисный	цепной	базисный	цепной

Средние показатели определяются после таблицы. После расчета всех показателей необходимо сделать выводы.

При изучении динамики явления необходимо выделить в ряде динамики основную тенденцию (общее направление развития) методом аналитического выравнивания – построить модель тренда как функцию от времени. Тип модели тренда определяется графически с помощью построения линейной диаграммы фактических уровней ряда динамики.

В качестве функций (моделей тренда) используются уравнение прямой, параболы, гиперболы, экспоненты и др.

f_t = a₀ +a₁ *t – прямая;

f_t = a₀ +a₁ *t + a₂ *t². – парабола и т.д. , где t – время; y – уровни ряда;

f_t – значение уровня ряда, полученное по модели; a₀ , a₁ , a₂ – параметры модели, определяемые из системы нормальных уравнений.

Для линейной модели система нормальных уравнений имеет вид (7).

Для квадратичной модели система нормальных уравнений имеет вид (8).

Для упрощения расчетов показатель времени t задается так, чтобы сумма по времени равнялась 0 (отчет времени с середины ряда динамики). Пример задания времени при четном и нечетном числе уровней ряда приведен в таблице 7.

Таблица 7

Уровни	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	t
Четное число (6)	-5	-3	-1	1	3	5	0
Нечетное число (5)	-2	-1	0	1	2		0

После такого задания времени система нормальных уравнений (7) упрощается и позволяет определить параметры модели a₀ и a₁.

Система нормальных уравнений для квадратичной модели (8) упрощается и позволяет рассчитать параметры модели путем решения системы двух уравнений с двумя неизвестными.

Рассмотрим практические примеры.

Пример 4. Имеются данные о потреблении овощей на одного члена семьи по району за 1991 –1999 г. (таблица 8).

Таблица 8.

Год	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997
У(t)	10,0	10,5	12,0	10,2	13,0	16,3	18,0

Построить модель тренда методом аналитического выравнивания по прямой.

Решение: Для определения параметров модели построим расчетную таблицу 9

Таблица 9

Год	Потребление овощей, кг. yi	t	t2	yi*t	ft = 12,86 + 1,3*t	(yt –ft)2	yt2
1991	10,0	-3	9	-30,0	8,96	1,082	100
1992	10,5	-2	4	-21,0	10,26	0,058	110,25
1993	12,0	-1	1	-12,0	11,56	0,194	144
1994	10,2	0	0	0	12,86	7,076	104,04
1995	13,0	1	1	13,0	14,16	1,346	169
1996	16,3	2	4	32,6	15,46	0,706	265,69
1997	18,0	3	9	54	16,76	1,538	324
Итого	90	0	28	36,6	90,02	12	1216,98

По данным расчетной таблицы 9 определим параметры линейной модели тренда y_t = a₀ +a₁ *t.

Рассчитаем значения f_t по построенной модели f_t = 12,86 + 1,3*t. Расчетные данные приведены в таблице 9. Для наглядного представления основной тенденции развития явления строится график фактических данных и модели тренда.

Для оценки качества модели рассчитывается сумма квадратов отклонений от тренда (предпоследняя колонка таблицы 9) и абсолютная и относительная меры колеблемости отклонений от тренда (остатков):

Дисперсия отклонений от тренда (остаточная) равна

Где к – число параметров в модели, n – число уровней ряда.

___ ___

Средн­­еквадратическое отклонение равно  _ост= ²_ост = 2,4 = 1,55 кг.

Коэффициент вариации равен

Определим дисперсию показателяY(t) по формуле

Рассчитаемкоэффициент детерминации, который объясняет долю вариации изучаемого показателя, объясненную моделью, по формуле

Вывод: Таким образом, относительная мера колеблемости остатков меньше 15 %, и построенная модель объясняет 72% (больше 60%) вариации Y(t), следовательно, построенная модель является хорошей.

Пример 5. Имеются данные о производстве продукции по предприятию (тыс. шт.) за 1994 –2001 г. (таблица 10).

Таблица 10

Год	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000
У(t)	15	14,5	12,0	9,2	11,8	14,6	16,4

Построить модель тренда методом аналитического выравнивания по параболе.

Решение: Для определения параметров модели построим расчетную таблицу 11

Таблица 11

Год	Производ- ство продукции тыс. шт. yi	t	T2	yi*t	t4	yi*t2	ft	(yt –ft)2	yt2
1994	15,0	-3	9	-45,0	81	135	15,81	0,66	225
1995	14,5	-2	4	-29,0	16	58	13,06	2,07	210,25
1996	12,0	-1	1	-12,0	1	12	11,47	0,28	144
1997	9,2	0	0	0	0	0	11,04	3,38	84,64
1998	11,8	1	1	11,8	1	11,8	11,77	0,00	139,24
1999	14,6	2	4	29,2	16	58,4	13,66	0,88	213,16
2000	16,4	3	9	49,2	81	147,6	16,71	0,09	268,96
Итого	93,5	0	28	4,2	196	422,8	93,52	7,36	1285,25

По данным расчетной таблицы 11 определим параметры квадратичной модели тренда y_t = a₀ +a₁ *t + a₂*t².

Решая систему уравнений, получим значения параметров – a₀ = 11,04, a₁ =0,15,

a₂ =0,58. Тогда модель основной тенденции примет вид :

f_t = 11,04 +0,15 *t + 0,58*t².

Рассчитаем значения f_t по построенной модели. Расчетные данные приведены в таблице 11. Для наглядного представления основной тенденции развития явления строится график фактических данных и модели тренда.

Для оценки качества модели рассчитывается сумма квадратов отклонений от тренда (предпоследняя колонка таблицы 11) и абсолютная и относительная меры колеблемости отклонений от тренда (остатков):

Дисперсия отклонений от тренда (остаточная) равна

Где к – число параметров в модели, n – число уровней ряда.

___ ___

Средн­­еквадратическое отклонение равно  _ост= ²_ост = 1,84 = 1,356 тыс. шт.

Коэффициент вариации равен

Вывод 1:Таким образом, относительная мера колеблемости остатков меньше 15 %, следовательно, построенная модель является хорошей.

Определим дисперсию показателя Y(t) по формуле

Рассчитаемкоэффициент детерминации, который объясняет долю вариации изучаемого показателя, объясненную моделью, по формуле

Вывод 2: Таким образом, относительная мера колеблемости остатков меньше 15 %, и построенная модель объясняет 65% (больше 60%) вариации Y(t), следовательно, построенная модель является хорошей.