Задача. Из данной пропорции
найти x и y. |
Cxy 1 : Cxy : Cxy 1 2 : 2 :1 |
|
Решение. |
||
|
||
Записав отдельно отношение первого члена |
||
пропорции ко второму и второго к третьему, после сокращения получим:
В силу условия задачи мы приходим к системе:
Решая её, получаем x=5 и =1. |
14 |
15
16
Разбиения и полиномиальная теорема
Разбиением множества A на k частей называется семейство его подмножеств, такое, что
1) |
Ai A j при i j ; |
|
k |
2) |
Ai A . |
i 1
17
Если порядок частей существенен (т.е. разбиения, отличающиеся одно от другого только перестановкой частей, считаются различными), то говорят, что рассматриваются упорядоченные разбиения.
Теорема. Число упорядоченных разбиений
множества мощности n на k |
частей |
|||
мощностей |
n1 , n2 , , nk n1 n2 nk n |
|||
равно |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1!n2!...nk ! |
18 |
|
n!
Величина n1 ! n2 !... nk ! обозначается
Через |
|
n |
|
или |
P(n1, n2 ,..., nk ) |
|
|
|
|||
|
n1, n2 ,..., nk |
|
|
||
и называется
полиномиальным коэффициентом.
19
Полиномиальная формула:
x1 x2 xk n
P(n1, n2 ,...,nk ) x1n1 x2n2 xknk
Где сумма распространена на всевозможные разбиения n1+n2+…+nk числа n на k целых
неотрицательных слагаемых.
Доказательство: |
x1 |
|
... xk |
n |
Запишем |
x2 |
|||
|
|
в виде произведения n сомножителей и раскроем скобки, выписывая все сомножители в порядке их появления.
20
Получим всевозможные размещения с повторениями, составленные из букв х1, х2,..., хk такие, что в каждое
размещение входит n букв.
Чтобы найти коэффициент при x1n1 x2n2 xknk
надо сосчитать, сколько размещений с повторениями содержат n1 раз букву х1, - n2 раз букву х2 и т.д.
Каждое такое размещение является перестановкой с
повторениями из n1 букв х1, n2 букв х2 |
и т.д. |
||
Число таких перестановок |
P( n1 ,n2 |
,...,nk ) |
|
|
|
||
где |
n1+n2+...+nk=n, |
так как |
в каждый член |
разложения входит по одному элементу из каждой скобки, а общее число перемножаемых скобок равно n.
21
Найти коэффициент при x3 y2 из разложения
(x y 3)7 |
|
|
|
|
|
степени |
|
|
|
|
|
x3 y2 z2 |
|
|
|
|
|
Коэффициент при |
из разложения |
||||
(x y z)7 |
|
7! |
|
210 |
|
равен 3!2!2! |
|||||
степени |
|||||
Имеем член разложения |
210x3 y2 z2 |
z 32 |
|||
|
, при |
||||
1890x3 y2 |
|
||||
получаем |
22 |
|
24
25
26