Краткая теория

Рис.1. Последовательный колебательный контур.

В работе исследуются вынужденные колебания в колебательном контуре, соединенном с источником электродвижущей силы переменной частоты. В зависимости от того, как источник соединен с колебательным контуром, различают последовательные и параллельные колебательные контуры. В данной работе исследуется последовательный колебательный контур (рис.1).

При исследовании вынужденных колебаний большой интерес представляет изучение зависимости интенсивности колебаний от соотношения между частотой внешнего воздействия и собственной частотой незатухающих колебаний в системе.

Вынужденные электромагнитные колебания в контуре могут быть количественно охарактеризованы разными величинами: силой тока; напряжением на конденсаторе; напряжением на катушке индуктивности контура и т.д. Амплитуда каждой из этих величин выражается особой функцией частоты, имеющей характерный максимум при определённом значении частоты _р, называемой резонансной частотой. График такой функции называется резонансной кривой (рис.2).

Рис.2. Резонансная кривая (А – относительная амплитуда).

Уравнение для резонансной кривой может быть получено следующим образом.

Запишем, на основании второго закона Кирхгофа, уравнение вынужденных колебаний в последовательном колебательном контуре:

, (1)

или

. (2)

где E₀ - амплитуда э.д.с. генератора, включенного в контур. Учитывая, что сила тока

, (3)

где q - заряд на конденсаторе, уравнение (2) можно записать в виде:

. (4)

Поделив обе части уравнения (4) на L, можно привести его к стандартному виду уравнения вынужденных колебаний гармонического осциллятора:

,

где – коэффициент затухания, характеризующий потери энергии; – квадрат собственной частоты колебательного контура.

Решение этого линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка в режиме установившихся вынужденных колебаний будет иметь вид

, (5)

где q­₀ – амплитуда заряда конденсатора,  ­– разность фаз между колебаниями заряда и внешней э.д.с. E.

Удобнее перейти от выражения для заряда (5) к выражению для тока I, воспользовавшись соотношением (3):

, (6)

где I₀ - амплитуда тока,  - сдвиг по фазе между током и внешней э.д.с. E:

, . (7)

С учётом этого, можно получить выражения для напряжений на сопротивлении R, ёмкости C и индуктивности L:

, (8)

, (9)

, (10)

На основании выражений (8), (9) и (10) можно построить векторную диаграмму для амплитуд напряжений, векторная сумма которых должна быть равна, согласно (1), вектору величиной E₀ (рис.2).

Рис.2. Векторная диаграмма для колебательного контура.

Из треугольника OAB этой диаграммы можно получить выражения для I₀ и :

, (11)

. (12)

Как видно из выражения (11), максимальное значение силы тока достигается при = 0. Таким образом, резонансная частота для силы тока равна собственной частоте колебательного контура:

(13)

Очевидно, что для напряжения на сопротивлении U_R частота максимальной амплитуды колебаний _рR также совпадает с ₀. Однако, для напряжений на ёмкости и на индуктивности это не так. Выражения для резонансных частот _рC и _рL можно получить, приравняв нулю первые производные по  для соответствующих выражений амплитуд U_0C и U_0L из (9) и (10):

, . (14)

Как видно, из формул (14), резонансная частота для напряжения на ёмкости меньше, а для напряжения на индуктивности – больше по сравнению с собственной частотой колебательного контура. Однако, чем меньше коэффициент затухания  (т.е., чем меньше потери энергии, обусловленные, в рамках модели, наличием активного сопротивления), тем ближе резонансные частоты _рC и _рL к значению ₀. При все три резонансные частоты практически одинаковы.

Графики зависимости амплитуд напряжений U_0R, U_0C и U_0L от частоты  показаны на рис.3.

Рис.3. Резонансные кривые колебательного контура со следующими параметрами: R = 1 Ом, C = 0,005 Ф, L = 0,02 Гн, E₀ = 1 В.

Важным параметром колебательного контура, характеризующим его резонансные свойства, является добротность Q. Для колебательного контура с малым затуханием ( ) добротность может быть определена как отношение энергии W, запасённой в контуре, к энергии W, теряемой контуром за один период колебаний:

Величина добротности связана с коэффициентом затухания следующим образом:

(15).

Подставляя выражения для ₀ и , получим:

. (16)

Выразим отношение амплитуды напряжения на конденсаторе U_0C к амплитуде внешней э.д.с. E₀ на резонансной частоте в случае малого затухания (_рC  ₀), используя (9) и (11):

(17)

Таким образом, при резонансе в последовательном колебательном контуре амплитуда напряжения на конденсаторе в Q раз превышает амплитуду выходного напряжения генератора. Аналогичный результат можно получить и для амплитуды напряжения на индуктивности. Поэтому резонанс в последовательном колебательном контуре называют резонансом напряжений.

Добротность контура связана также с ещё одной важной характеристикой резонансной кривой – её шириной. Можно показать, что при малом затухании

, (18)

где _0,7 – ширина резонансной кривой на уровне 0,7 (точнее, ) от максимума (см. рис. 2). Формула (18) даёт практический способ определения добротности колебательного контура по измеренной резонансной кривой.