Методические рекомендации
.pdfкоторого 0,997, достоверно, найти границы числа проб с промышленным содержанием металла среди 1000 проб.
В 4.30. Сколько нужно проверить деталей, чтобы с вероятностью: а) 0,9; б) 0,99; в) 0,999 можно было ожидать, что абсолютная величина отклонения частости годных деталей от вероятности 0,9 того, что деталь будет годной, не превысит 0,01 (по абсолютной величине)?
Блок С
С 4а Импортер поставляет жалюзи для окон, причем из них c % горизонтальных. Какая вероятность того, что среди n отобранных жалюзи будет: а) m горизонтальных; б) от m1 до m2 горизонтальных; в) не меньше m3 горизонтальных; г) меньше m4 горизонтальных?
Номер |
|
|
Исходные данные |
|
|
|
варианта |
c % |
n |
m |
(m1 ; m2 ) |
m3 |
m4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С 4.1 |
70 |
5 |
– |
– |
4 |
– |
С 4.2 |
60 |
6 |
– |
3; 5 |
– |
– |
С 4.3 |
80 |
5 |
4 |
– |
– |
– |
С 4.4 |
70 |
6 |
– |
– |
– |
4 |
С 4.5 |
75 |
5 |
– |
3; 4 |
– |
– |
С 4.6 |
65 |
6 |
5 |
– |
– |
– |
С 4.7 |
80 |
5 |
– |
– |
3 |
– |
С 4.8 |
70 |
6 |
4 |
– |
– |
– |
С 4.9 |
85 |
5 |
– |
– |
– |
4 |
С 4.10 |
70 |
5 |
3 |
– |
– |
– |
С 4.11 |
60 |
5 |
– |
– |
4 |
– |
С 4.12 |
75 |
6 |
– |
2; 4 |
– |
– |
С 4.13 |
80 |
6 |
4 |
– |
– |
– |
С 4.14 |
70 |
5 |
– |
– |
3 |
– |
С 4.15 |
75 |
5 |
– |
– |
– |
3 |
С 4.16 |
80 |
6 |
– |
2; 5 |
– |
– |
С 4.17 |
65 |
5 |
– |
2; 3 |
– |
– |
С 4.18 |
70 |
5 |
– |
3; 4 |
– |
– |
С 4.19 |
80 |
6 |
– |
3; 4 |
– |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
Номер |
|
|
Исходные данные |
|
|
|
варианта |
c % |
n |
m |
(m1 ; m2 ) |
m3 |
m4 |
|
|
|
|
|
|
|
С 4.20 |
85 |
6 |
4 |
– |
– |
– |
С 4.21 |
60 |
4 |
– |
– |
– |
2 |
С 4.22 |
65 |
4 |
– |
– |
2 |
– |
С 4.23 |
70 |
6 |
5 |
– |
– |
– |
С 4.24 |
75 |
6 |
– |
3; 4 |
– |
– |
С 4.25 |
80 |
5 |
– |
– |
– |
3 |
С 4.26 |
80 |
6 |
4 |
– |
– |
– |
С 4.27 |
70 |
5 |
– |
– |
3 |
– |
С 4.28 |
65 |
6 |
– |
3; 4 |
– |
– |
С 4.29 |
60 |
5 |
3 |
– |
– |
– |
С 4.30 |
70 |
6 |
– |
– |
– |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
С 5а Вероятность того, что покупатель закажет товар фирмы "Faberlic", равна p . Найти вероятность того, что среди n покупа-
телей таких будет: а) k; б) не меньше k1; в) от k2 до k3; г) меньше k4.
Номер |
|
|
Исходные данные |
|
|||
варианта |
n |
p |
k |
|
k1 |
k2 ; k3 |
k4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1900 |
0,3 |
600 |
|
– |
– |
550 |
2 |
2500 |
0,2 |
520 |
|
– |
500; 600 |
– |
3 |
2300 |
0,3 |
700 |
|
680 |
– |
– |
4 |
2000 |
0,4 |
800 |
|
820 |
– |
– |
5 |
2200 |
0,25 |
580 |
|
– |
400; 550 |
– |
6 |
2100 |
0,35 |
750 |
|
– |
– |
700 |
7 |
2500 |
0,25 |
610 |
|
– |
550; 650 |
– |
8 |
2300 |
0,3 |
650 |
|
700 |
– |
– |
9 |
2000 |
0,25 |
500 |
|
480 |
– |
– |
10 |
2100 |
0,3 |
590 |
|
– |
– |
650 |
11 |
2200 |
0,3 |
700 |
|
– |
650; 750 |
– |
12 |
2500 |
0,3 |
760 |
|
800 |
– |
– |
13 |
2400 |
0,2 |
480 |
|
– |
– |
500 |
14 |
2400 |
0,4 |
1000 |
|
– |
900; 950 |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
С 5б Вероятность того, что покупатель закажет товар фирмы "Oriflame", равна p . Найти вероятность того, что среди n покупа-
телей отклонение доли покупателей, которые желают заказать продукцию, от вероятности p не превышает ε .
Номер |
|
Исходные данные |
|
||
варианта |
n |
|
p |
|
ε |
|
|
|
|
|
|
15 |
1500 |
|
0,35 |
|
0,03 |
16 |
1700 |
|
0,4 |
|
0,02 |
17 |
2000 |
|
0,4 |
|
0,03 |
18 |
1800 |
|
0,3 |
|
0,01 |
19 |
1500 |
|
0,4 |
|
0,02 |
20 |
1600 |
|
0,3 |
|
0,03 |
21 |
1800 |
|
0,4 |
|
0,02 |
22 |
1900 |
|
0,45 |
|
0,01 |
|
|
|
|
|
|
С 5в Вероятность того, что каждому из n покупателей необходим товар фирмы "Avon", равна p . Найти границы, в которых с
вероятностью P будет находиться доля покупателей, которые желают заказать продукцию фирмы.
Номер |
|
Исходные данные |
|
||
варианта |
n |
|
p |
|
P |
|
|
|
|
|
|
23 |
1000 |
|
0,3 |
|
0,9729 |
24 |
900 |
|
0,4 |
|
0,9606 |
25 |
800 |
|
0,4 |
|
0,9791 |
26 |
1100 |
|
0,3 |
|
0,9556 |
27 |
1200 |
|
0,3 |
|
0,9807 |
28 |
1000 |
|
0,4 |
|
0,9616 |
29 |
900 |
|
0,3 |
|
0,9774 |
30 |
1100 |
|
0,4 |
|
0,9596 |
|
|
|
|
|
|
55
С 6 Найти вероятность того, что среди изготовленных n деталей окажется m деталей с дефектом, если вероятность изготовле-
ния детали с дефектом равна |
p . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
Исходные данные |
Номер |
Исходные данные |
|||||
варианта |
n |
p |
|
m |
варианта |
n |
p |
m |
1 |
1200 |
0,005 |
|
12 |
16 |
1200 |
0,005 |
4 |
2 |
1000 |
0,003 |
|
11 |
17 |
800 |
0,001 |
5 |
3 |
500 |
0,004 |
|
9 |
18 |
2500 |
0,0002 |
5 |
4 |
800 |
0,0005 |
|
3 |
19 |
7000 |
0,001 |
13 |
5 |
1500 |
0,0004 |
|
5 |
20 |
700 |
0,001 |
6 |
6 |
1400 |
0,005 |
|
8 |
21 |
600 |
0,001 |
4 |
7 |
2000 |
0,0005 |
|
6 |
22 |
1200 |
0,0005 |
5 |
8 |
800 |
0,005 |
|
2 |
23 |
500 |
0,0006 |
1 |
9 |
250 |
0,004 |
|
0 |
24 |
1000 |
0,0008 |
4 |
10 |
1000 |
0,0003 |
|
4 |
25 |
2000 |
0,002 |
10 |
11 |
1800 |
0,005 |
|
11 |
26 |
3000 |
0,003 |
12 |
12 |
4000 |
0,0001 |
|
4 |
27 |
4000 |
0,0002 |
6 |
13 |
2500 |
0,0002 |
|
3 |
28 |
2000 |
0,004 |
9 |
14 |
9000 |
0,0001 |
|
4 |
29 |
500 |
0,0004 |
0 |
15 |
1000 |
0,006 |
|
15 |
30 |
6000 |
0,0001 |
2 |
56
Тема 5 Дискретная случайная величина
Понятие дискретной случайной величины тесно связано с понятием случайного события, являясь в некотором смысле его обобщением. Здесь также первичным служит испытание, результат которого характеризуется не альтернативным исходом (появляется или нет событие), а некоторым числом (число m появлений события А в n повторных независимых испытаниях: число очков, выбиваемых стрелком; размер вклада на случайно выбранном в сбербанке счете и т.д.).
Связь со случайным событием заключается в том, что принятие случайной величиной некоторого числового значения (т.е. выполнение равенства X = xi ) есть случайное событие,
характеризуемое вероятностью P( X = xi ) = pi .
Решение типовых задач Задача 1. Среди 8 часов, поступивших в ремонт, 2 – с полом-
ками оси. Наудачу взяты 3 часов. Составить закон распределения числа часов с поломками оси среди взятых 3.
Решение. Случайная величина Х – число часов с поломками оси среди 3 наудачу взятых из 8, может принимать следующие числовые значения: x1 = 0 , x2 = 1 , x3 = 2 .
Вероятности каждого из этих значений найдем, используя классическое определение вероятности: P( A) = m . Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
p = P( X = 0) = |
C63 |
= |
5 |
, p |
|
= P( X = 1) = |
C63 × C62 |
= |
15 |
, |
||||||||||
C3 |
|
|
C3 |
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
14 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
||||||
|
|
p = P( X = 2) = |
C22 × C61 |
= |
3 |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
C3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон распределения имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
хi |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
pi |
|
5 /14 |
|
|
|
15/28 |
|
3/28 |
|
|
|
|
|||||||
Правильность составления закона подтверждается равенст-
вом p1 + p2 + p3 = 1.
57
Задача 2. Вероятность всхожести семян некоторого растения равна 0,8. Составить закон распределения числа взошедших семян из 3 посеянных. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. Случайная величина X, выражающая число взошедших семян из 3 посеянных, может принимать значения: x1 = 0 , x2 = 1 , x3 = 2 , x4 = 3 . Так как вероятность всхожести для
каждого семени одинакова |
и равна p = 0,8 , |
то |
вероятности |
всхожести определенного |
количества семян |
pi |
= P( X = xi ) |
определим по формуле Бернулли Pn (m) = Cnm × pm × qn− m ( m = xi ):
|
p = C0 |
× 0,80 × 0,23 = 0,008 ; |
p |
2 |
= C1 ×0,8 ×0,22 = 0,096 ; |
|||||||
1 |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
|
p = C 2 |
× 0,82 × 0,2 = 0,384 ; p |
4 |
= C 3 × 0,83 |
× 0,20 = 0,512 . |
|||||||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
Искомый закон распределения запишется в виде таблицы |
||||||||||||
|
|
хi |
|
0 |
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
pi |
|
0,008 |
0,096 |
|
|
|
0,384 |
|
0,512 |
|
Случайная величина X имеет биномиальное распределение. |
||||||||||||
Находим математическое ожидание |
M ( X ) = np = 3 × 0,8 = 2,4 |
|||||||||||
и ее дисперсию D( X ) = npq = 3 × 0,8 × 0,2 = 0,48 .
Задача 3. Вероятность совершить покупку равна 0,3 для 1-го покупателя; 0,5 – для 2-го; 0,6 – для 3-го. Определить закон распределения величины Х – числа покупателей, совершивших покупку. Найти числовые характеристики этой случайной величины.
Решение. Возможные значения случайной величины Х таковы: x1 = 0 , x2 = 1 , x3 = 2 , x4 = 3 . Обозначим события: Ai – i-й покупатель совершил покупку (i = 1, 2, 3).
Находим вероятность pi = P( X = xi ) , i = 1, 2, 3, 4, применяя теоремы сложения и умножения вероятностей:
p1 = P(X = 0) = P( A1A2 A3 ) = P( A1) P(A2 ) P(A3 ) = 0,7 ×0,5×0,4 = 0,14 ; p2 = P( X = 1) = P( A1A2 A3 + A1A2 A3 + A1A2 A3 ) = P( A1 A2 A3 ) +
P( A1A2 A3 ) + P(A1A2 A3) = 0,3×0,5×0,4 +0,7×0,5×0,4 + 0,7×0,5×0,6 = 0,41; p3 = P( X = 2) = P( A1A2 A3 ) + P( A1A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = 0,3×0,5 ×0,4 + + 0,3×0,5 ×0,6 + 0,7 ×0,5 ×0,6 = 0,36;
58
p4 = P( X = 3) = P( A1A2 A3 ) = 0,3 × 0,5 × 0,6 = 0,09 .
Закон распределения случайной величины X имеет вид
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
рi |
0,14 |
0,41 |
0,36 |
0,09 |
4
∑ pi = 0,14 + 0,41 + 0,36 + 0,09 = 1.
i=1
Находим числовые характеристики случайной величины:
1Математическое ожидание M (X ) = x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 + x4 p4 ;
M ( X ) = m = 0 × 0.14 +1× 0,41 + 2 × 0,36 + 3 × 0,09 = 1,40 .
2Дисперсия D(X) =(x1 -m)2 p1 +(x2 -m)2 p2 +(x3 -m)2 p3 +(x4 -m)2 p4 ;
D(X) =(0-1,4)2 ×0,14+(1-1,4)2 ×0,41+(2-1,4)2 ×0,36+(3-1,4)2 ×0,09=0,70. 3 Среднее квадратическое (стандартное) отклонение
σ ( X ) = 
D( X ) = 
0,70 » 0,84 .
Задача 4. Случайная величина Х задана законом распределения
хi |
0 |
1 |
? |
рi |
0,5 |
0,3 |
? |
Найти третье значение случайной величины и соответствующую ему вероятность, если известно, что ее математическое ожидание равно 2.
Решение. Так как p1 + p2 + p3 = 1 , то p3 = 1 - 0,5 - 0,3 = 0,2 .
Далее, так как математическое ожидание случайной величины
M ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 , т.е. 2 = 0 × 0,5 + 2 × 0,3 + x3 × 0,2 , то от-
сюда x3 = 7 .
Задачи для отчета преподавателю
Блок А
А 5.1. Стрелок, имея 4 патрона, стреляет по удаляющейся цели до 1-го попадания или до израсходования всех патронов. Составить закон распределения числа произведенных выстрелов, если вероятность попадания при 1-м выстреле равна 0,8, а при каждом следующем уменьшается на 0,1.
59
А5.2. Проверкой установлено, что из каждых десяти деталей, поступающих на сборку двигателя самолета, 2 нуждаются в доводке. Составить закон распределения числа точно изготовленных среди наудачу взятых 3 деталей. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
А5.3. Завод отправил на базу 100 000 доброкачественных керамических плиток. Вероятность того, что плитка в пути разобьется, равна 0,00007. Составить закон распределения числа поврежденных плиток, указав первые 4 его члена. Найти математическое ожидание
идисперсию этой случайной величины.
А5.4. Каждый из 2 стрелков делает по 2 выстрела по мишени, вероятность попадания в которую для 1-го стрелка равна 0,8, для 2-го – 0,9. Составить закон распределения общего числа попаданий.
А5.5. На пути движения автомашины 3 светофора, каждый из которых может быть открыт с вероятностью 0,5. Составить закон распределения числа светофоров, пройденных автомашиной: а) до 1-й остановки; б) без остановки. Найти математическое ожидание каждой из этих случайных величин.
А5.6. При наборе телефонного номера абонент забыл последнюю цифру, но помнит, что она нечетная. Составить закон распределения числа попыток, сделанных абонентом для правильного набора номера.
А5.7. Часовщик, желая найти требующие ремонта часы, проверяет их до обнаружения 1-х неисправных. Составить закон распределения числа просмотренных часов, если известно, что среди имеющихся 10 часов 6 – неисправны.
А5.8. В коробке имеются 6 однотипных деталей, из которых 2 – с дефектами. Для сборки прибора требуются 2 детали, которые слесарь-сборщик извлекает из коробки. Составить закон распределения числа опробованных для сборки прибора деталей. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
А5.9. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,005. Составить первые 3 члена закона распределения числа опоздавших среди 1000 пассажиров некоторого поезда. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
60
А5.10. Среди 20 электроприборов имеются 2 неисправных. Составить закон распределения числа неисправных приборов среди 4 одновременно взятых приборов. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
А5.11. Рабочий обслуживает 3 станка, вероятности выхода из строя каждого из которых в течение часа соответственно равны 0,2; 0,15; 0,1. Составить закон распределения числа станков, не требующих ремонта в течение часа. Найти математическое ожидание
идисперсию этой случайной величины.
А5.12. В городе имеются 4 библиотеки. Вероятность наличия в данный момент нужной книги в каждой из библиотек равна 0,2. Составить закон распределения и найти среднее квадратическое отклонение числа посещенных студентом библиотек для получения нужной книги.
А5.13. Два баскетболиста делают по 2 броска. Вероятность попадания мяча в корзину при любом броске для 1-го баскетболиста равна 0,8, для 2-го – 0,9. Составить закон распределения общего числа попаданий.
А5.14. Вероятность того, что саженец груши приживется, равна 0,8, яблони – 0,9. Куплено 2 саженца груши и 1 – яблони. Составить закон распределения числа прижившихся среди них.
А5.15. Среди 10 приборов у 2 имеются отклонения, выходящие за пределы допуска. Составить закон распределения числа приборов, не имеющих отклонений от допуска, среди 4 наудачу взятых приборов.
А5.16. Число очков, выбиваемых стрелком при каждом выстреле, имеет следующий закон распределения:
хi |
0 |
1 |
2 |
3 |
рi |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
Найти математическое ожидание и дисперсию числа очков, выбиваемых стрелком, если он сделал 5 выстрелов.
А 5.17. По условиям спортивной игры стрельба по мишени ведется стрелком до 2 попаданий или до израсходования имеющихся 4 патронов. Составить закон распределения и найти математическое ожидание числа попаданий, если вероятность попасть при первом выстреле равна 0,6, а при каждом следующем увеличивается на 0,1.
61
А5.18. Вероятность успешно сдать экзамен по теории вероятности равна 0,8, а при каждой пересдаче увеличивается на 10%. Составить закон распределения числа попыток сдать экзамен, если студент может пересдавать экзамен не более 2 раз.
А5.19. Продано 100 билетов лотереи. Установлены следующие вы-
игрыши: 1 выигрыш |
– 15 тыс. грн, 2 выигрыша – по 10 тыс. грн, |
и 5 выигрышей – по 5 |
тыс. грн. Составить закон распределения и найти |
математическое ожидание выигрыша для лица, купившего 1 билет.
А5.20. При некотором технологическом процессе брак составляет
всреднем 3%. Составить закон распределения числа стандартных изделий среди взятых наудачу 5 изделий этого производства.
А5.21. Вероятность безотказной работы каждого станка в течение промежутка времени t равна 0,75. Найти вероятность того, что из 12 станков, обслуживаемых рабочим, внимания потребуют 4 станка.
А5.22. Случайная величина Х задана законом распределения
хi |
1 |
2 |
? |
рi |
0,2 |
0,4 |
? |
Найти х3 и р3, если известно, что среднее значение случайной величины равно 2,4.
А 5.23. Торговая база получила 5000 электроламп. Вероятность повреждения электроламп в пути равна 0,001. Написать первые 5 членов закона распределения числа поврежденных электроламп.
А 5.24. Случайная величина Х принимает целые положительные значения с вероятностями, убывающими в геометрической прогрессии. Найти знаменатель этой прогрессии, если известно, что математическое ожидание этой случайной величины равно 10,
авероятность того, что она принимает значение 3, равна 0,081.
А5.25. Вероятность того, что абонент позвонит по телефону в течении часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. Написать первые 3 члена закона распределения случайной величины – числа позвонивших абонентов в течение часа. Найти ее среднее значение.
А5.26. Билет в партер стоит 4 грн, в бельэтаж – 3 грн и на балкон
– 2 грн. Приобретения любого билета события равновозможные. Составить закон распределения стоимости 2 купленных билетов.
62