Границы доверительного интервала для Lk имеют вид

Lk^*  S_LK [(l-1) F_1-(l-1,n-l)]^1/2

Практическая часть

1)Уравнения регрессии Y на X y=^*₀ +^*₁x и X на Y x=^*₀ +^*₁y

Объем выборки n=50. Предварительно вычислим

x_i = 287,21, y_i = 896,06 , x²_i = 1778,5947 , y²_i = 16099,5576 , x_iy_i = 5201,0637

Тогда по формуле (1)

x^*== 5,7442 ,y^*==17,9212

Для контроля правильности вычислений используется тождество

 (x_i+y_i)²= 28280,2797

x²_i + 2 x_iy_i + y²_i = 1778,5947+2*5201,0637+16099,5576=28280,2797

Следовательно, вычисления проведены верно . Предварительно найдем

Q_x=1778,5947 - = 128,803

Q_y=16099,5576 - = 41,0871

Q_xy=5201,0637 - = 53,9158

Окончательно из соотношений (5) получаем

D^*_x=2,5761 , D^*_y = 0,8217

R=0,7411

По формулам (6) и (7) найдем оценки коэффициентов регрессии

₁^*= = 0,4185

₀^* = = 15,5172

₁^*= =1,3122

₀^*==-17,7720

Таким образом, выборочная линейная регрессия Y на Х имеет вид:

y=15,5172+0,4185*x

выборочная линейная регрессия X на Y:

x=-17,7720+1,3122 *y

Точка пересечения (5,7442 ; 17,9212)

2)Вычисление ei , Qe , Qr , s2 , r2, rxy

Вычисляем остатки:

e_i = y_i – ŷ _i, i = 1,2,......,n . Все остатки приведены в таблице 1.

Находим остаточную сумму квадратов Q_e

Q_e = e²_i=18,5184

По формуле (15) находим сумму квадратов, обусловленную регреггией Q_r

Q_r= Q_y -Q_e = 41,0871-18,5184=22,5687

Оценка дисперсии ошибок наблюдений по формуле (12) равна

S²=18,5184/(50-2)=0,3858

Коэффициент детерминации R² по формуле (16)

R²= = 0,5493

Выборочный коэффициент корреляции

r_xy= + (0,5493)^1/2=0,7414

3)Доверительные интервалы

Значение квантили t_1-/2(n-2)= t_1-/2(48) = 1,678 (таблица П6)

Границы доверительных интервалов равны: для коэффициента ₀^*:

₀^* = 15,5172  0,5477

для коэффициента ₁^*

₁^*  t_1-/2(n-2) * s * []^1/2 = 0,4185  0,0918

Границы доверительного интервала для значения Y₀ соответствующего заданному значению переменной x=x₀:

y₀^*  t_1-/2(n-2) * s *[ + ()]^1/2 = y₀^*  1,0422*

Границы доверительного интервала для дисперсии ошибок наблюдений ²

< ² <

0,2864 < ² < 0,5578

Этот результат означает, что полученное уравнение регрессии на 54,93% объясняет общий разброс результатов наблюдений относительно горизонтальной прямой y=17,9212. Выборочный

4)Однофакторный дисперсионный анализ

Задача заключается в проверке гипотезы H₀ : m₁=m₂ где m_k– математическое ожидание чисел k-й группы.В нашем случае l=2,n=100.

Вычисления удобно проводить в такой последовательности

x . .=  x_ik=287,21+896,06=1183,27

 x²_ik=1778,5947 + 16099,5576 =17878,1523

Далее из (17) и (18) получаем

Q=17878,1523 – = 3876,8733

Q₁==3706,9832

Q₂ = Q - Q₁=169,88

Найдем статистики S²₁ и S²₂

S²₁= = 3706,9832

S²₁= = 1,7335

Найдем выборочное значение статистики H₀

F_в= = 2138,4385

Так как квантиль распределения Фишера F_1-(1,n-2)= F_0,9 (1,48)=2,84 , что меньше выборочного значения статистики F_в, то гипотеза H₀ отклоняется на уровне значимости = 0,1.