3.Однофакторный дисперсионный анализ.

Пусть результаты наблюдений составляют l независимых выборок, полученных из l нормально распределенных генеральных совокупностей, которые имеют различные средние , ,…, и равные дисперсии . Проверяется гипотеза о равенстве средних. На практике такая задача возникает при исследовании влияния, которое оказывает изменение некоторого фактора на измеряемую величину. Например , если измерения проводятся наl различных приборах , то можно исследовать влияние фактора (прибор ) на результат измерений . При l=2 для проверки гипотезы используются известные критерии значимости . Если l>2 , то для проверки гипотезы о равенстве l средних применяют однофакторный дисперсионный анализ, суть которого состоит в следующем.

Пусть обозначаетi-й элемент k-й выборки , i=1,2,…,n , k=1,2,…,L; -выборочное среднее k-й выборки т.е.

; – общее выборочное среднее т.е. , гдеn – число наблюдений.

Общая сумма квадратов отклонений наблюдений от общего среднего может быть представлено так:

Это основное тождество дисперсионного анализа. Запишем его в виде , где – общая сумма квадратов отклонений наблюдений от общего среднего,– сумма квадратов отклонений выборочных среднихX k от общего среднего X (между группами), – сумма квадратов отклонений наблюдений от выборочных средних групп (внутри групп).

Если верна гипотеза , то статистики и независимы и имеют распределениесl-1 и n-l степенями свободы. Следовательно, статистики и являются несмещенными оценками неизвестной дисперсии . Оценка характеризует рассеяние групповых средних, а – рассеяние внутри групп , которое обусловлено случайными вариациями результатов наблюдений . Значительное превышение величины над значением можно объяснить различием средних в группах . Отношение этих оценок имеет распределение Фишера т.е. .

Статистика используется для проверки гипотезы. Гипотеза не противоречит результатам наблюдений, если выборочное значениестатистики меньше квантили. В этом случаеи являются несмещенными оценками параметров и. Если, то гипотеза отклоняется и следует считать, что среди среднихимеется хотя бы два не равных друг другу.