Однофакторный дисперсионный анализ.

Добавил:

korayakov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Курсовые / Курсачи ЭКТ 2-2 / 19 Вар / Hermes_19.doc

Скачиваний:

Добавлен:

17.04.2013

Размер:

477.7 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

Однофакторный дисперсионный анализ.

Пусть результаты наблюдений составляют независимых выборок, полученных нормально распределенных генеральных совокупностей, которые имеют различные средние и равные дисперсии . Проверяется гипотеза о равенстве средних На практике такая задача возникает при исследовании влияния, которое оказывает изменение некоторого фактора на измеряемую величину. Например, если измерения проводятся на различных приборах, то можно исследовать влияние фактора «прибор» на результаты измерений. В данном случае нас интересует вопрос, имеют ли различные приборы одну и ту же систематическую ошибку.

Пусть обозначает -й элемент -й выборки, -выборочное среднее -й выборки, т.е.

;

- общее выборочное среднее, т.е.

где -общее число наблюдений,

Общая сумма квадратов отклонений от общего среднего может быть представлена так:

Это основное тождество дисперсионного анализа. Запишем его в виде

где -общая сумма квадратов отклонений наблюдений от общего среднего, - сумма квадратов отклонений выборочных средних от общего среднего , - сумма квадратов отклонений наблюдений от выборочных средних.

Данное тождество легко проверяется, если учесть, что

в силу определения и

Если верна гипотеза : , то статистики и независимы и имеют распределение с и степенями свободы. Следовательно, статистики и являются несмещенными оценками дисперсии . Значительное превышение величины над значением величины можно объяснить различием средних в группах. Отношение этих оценок имеет распределение Фишера с и степенями свободы, т.е.

Эта статистика используется для проверки гипотезы : . Гипотеза не противоречит результатам наблюдений, если выборочное значение статистики меньше квантили . В этом случае и являются несмещенными оценками параметров и . Если то гипотеза отклоняется и следует считать, что среди средних имеется хотя бы два не равных друг другу.

Практическая часть.

X	Y	ΔX²	ΔY²	X²	Y²	XY	(X+Y)²	e_i	Q_e
10,63	10,96	0,4050	0,7811	112,9969	120,1216	116,5048	466,1281	0,3872	0,1499
10,03	10,90	0,0013	0,6786	100,6009	118,8100	109,3270	438,0649	0,7954	0,6327
10,77	12,76	0,6028	7,2028	115,9929	162,8176	137,4252	553,6609	2,0779	4,3178
9,38	8,60	0,3765	2,1792	87,9844	73,9600	80,6680	323,2804	-0,9974	0,9948
9,66	10,23	0,1113	0,0237	93,3156	104,6529	98,8218	395,6121	0,4141	0,1715
9,00	10,04	0,9872	0,0013	81,0000	100,8016	90,3600	362,5216	0,7392	0,5464
10,76	10,29	0,5874	0,0457	115,7776	105,8841	110,7204	443,1025	-0,3843	0,1477
10,56	10,65	0,3208	0,3292	111,5136	113,4225	112,4640	449,8641	0,1318	0,0174
9,51	7,49	0,2339	6,6884	90,4401	56,1001	71,2299	289,0000	-2,2088	4,8789
9,54	9,83	0,2058	0,0606	91,0116	96,6289	93,7782	375,1969	0,1078	0,0116
10,44	9,67	0,1993	0,1650	108,9936	93,5089	100,9548	404,4121	-0,7546	0,5693
9,65	9,26	0,1181	0,6662	93,1225	85,7476	89,3590	357,5881	-0,5481	0,3004
8,31	8,35	2,8345	2,9798	69,0561	69,7225	69,3885	277,5556	-0,4124	0,1701
9,28	8,46	0,5092	2,6121	86,1184	71,5716	78,5088	314,7076	-1,0593	1,1222
9,68	9,03	0,0983	1,0945	93,7024	81,5409	87,4104	350,0641	-0,8015	0,6424
9,66	9,73	0,1113	0,1199	93,3156	94,6729	93,9918	375,9721	-0,0859	0,0074
9,52	8,37	0,2243	2,9111	90,6304	70,0569	79,6824	320,0521	-1,3366	1,7866
11,23	10,25	1,5287	0,0302	126,1129	105,0625	115,1075	461,3904	-0,7910	0,6257
11,04	10,04	1,0950	0,0013	121,8816	100,8016	110,8416	444,3664	-0,8528	0,7272
10,04	9,41	0,0022	0,4438	100,8016	88,5481	94,4764	378,3025	-0,7024	0,4934
10,33	10,68	0,1132	0,3646	106,7089	114,0624	110,3244	441,4201	0,3413	0,1165
10,33	10,78	0,1132	0,4953	106,7089	116,2084	111,3574	445,6321	0,4413	0,1947
9,01	9,43	0,9675	0,4176	81,1801	88,9249	84,9643	340,0336	0,1214	0,0147
9,29	9,91	0,4951	0,0276	86,3041	98,2081	92,0639	368,6400	0,3829	0,1466
10,60	9,59	0,3677	0,2364	112,3600	91,9681	101,6540	407,6361	-0,9594	0,9205
10,49	10,17	0,2464	0,0088	110,0401	103,4289	106,6833	426,8356	-0,2936	0,0862
9,75	11,06	0,0593	0,9679	95,0625	122,3236	107,8350	433,0561	1,1739	1,3780
9,54	8,32	0,2058	3,0842	91,0116	69,2224	79,3728	318,9796	-1,4022	1,9663
10,21	9,90	0,0468	0,0310	104,2441	98,0100	101,0790	404,4121	-0,3451	0,1191
11,14	11,51	1,3142	2,0558	124,0996	132,4801	128,2214	513,0225	0,5392	0,2907
10,45	9,52	0,2083	0,3094	109,2025	90,6304	99,4840	398,8009	-0,9124	0,8324
10,22	9,64	0,0513	0,1903	104,4484	92,9296	98,5208	394,4196	-0,6129	0,3756
10,84	11,78	0,7164	2,9029	117,5056	138,7684	127,6952	511,6644	1,0433	1,0885
10,60	11,61	0,3677	2,3525	112,3600	134,7921	123,0660	493,2841	1,0606	1,1249
9,17	8,49	0,6783	2,5160	84,0889	72,0801	77,8533	311,8756	-0,9435	0,8902
9,85	10,70	0,0206	0,3891	97,0225	114,4900	105,3950	422,3025	0,7359	0,5415
8,75	10,20	1,5465	0,0153	76,5625	104,0400	89,2500	359,1025	1,0942	1,1974
10,70	9,90	0,4990	0,0310	114,4900	98,0100	105,9300	424,3600	-0,7274	0,5292
9,39	11,15	0,3643	1,1530	88,1721	124,3225	104,6985	421,8916	1,5448	2,3865
8,75	10,36	1,5465	0,0805	76,5625	107,3296	90,6500	365,1921	1,2542	1,5731
9,22	9,44	0,5985	0,4048	85,0084	89,1136	87,0368	348,1956	-0,0325	0,0011
9,36	10,83	0,4014	0,5682	87,6096	117,2889	101,3688	407,6361	1,2482	1,5581
10,98	11,61	0,9730	2,3525	120,5604	134,7921	127,4778	510,3081	0,7641	0,5838
9,94	9,14	0,0029	0,8765	98,8036	83,5396	90,8516	364,0464	-0,8944	0,7999
12,12	11,42	4,5216	1,8058	146,8944	130,4164	138,4104	554,1316	-0,3155	0,0996
11,60	12,19	2,5805	4,4682	134,5600	148,5961	141,4040	565,9641	0,8602	0,7400
10,22	10,20	0,0513	0,0153	104,4484	104,0400	104,2440	416,9764	-0,0529	0,0028
10,16	10,40	0,0277	0,1048	103,2256	108,1600	105,6640	422,7136	0,1939	0,0376
9,23	10,29	0,5831	0,0457	85,1929	105,8841	94,9767	381,0304	0,8097	0,6556
8,75	9,27	1,5465	0,6500	76,5625	85,9329	81,1125	324,7204	0,1642	0,0270
∑X	∑Y	∑ΔX	∑ΔY	∑X²	∑Y²	∑XY	∑(X+Y)²	∑e_i	∑e_i²
499,68	503,81	31,77	57,94	5025,37	5134,43	5059,67	20279,13	0,0000	38,5910