Границы доверительного интервала для Lk имеют вид

Lk^*  S_LK [(l-1) F_1-(l-1,n-l)]^1/2

3. Практическая часть

1. Уравнения регрессии Y на X y=^*₀ +^*₁x и X на Y

x= ^*₀ + ^*₁y

Объем выборки n=50. Предварительно вычислим

x_i = 344,54; y_i = 247,52; x²_i =2528,4242; y²_i =1297,034 ,

x_iy_i = 1800,8764;  (x_i+y_i)²= 7427,211

Тогда по формуле (1) найдём выборочные средние:

=x_i/n ==6,8908 ,=y_i/n = =4,9504

Для контроля правильности вычислений используется тождество

 (x_i+y_i)²= x²_i + 2 x_iy_i + y²_i

x²_i + 2 x_iy_i + y²_i = 2528,4242+2*1800,8764+1297,034 =7427,211 =  (x_i+y_i)²

Следовательно, вычисления проведены верно.

По формулам (2)-(4) находим суммы квадратов отклонений от среднего и произведение отклонений от средних:

Q_x= x²_i – (x)²_i/n = 2528,4242- = 154,267968

Q_y= y²_i – (y)²_i/n = 1297,034 - = 71,710992

Q_xy= x_iy_i – (x _i)(y_i )/n = 1800,8764- = 95,265584

Окончательно из соотношений (5) получаем

D^*_x = Q_x/n = 3,0854 , D^*_y = Q_y/n = 1,4342

r = Q_xy/( Q_x Q_y)^1/2 = 0,9057

По формулам (6) и (7) найдем оценки коэффициентов регрессии

₁^*= Q_xy / Q_x = 0,6175

₀^* = -₁^*= 4,9504- 0,6175*6,8908 0,6951

Таким образом, выборочная линейная регрессия Y на Х имеет вид:

y = ^*₀ +^*₁x = 0,6951+0,6175*x

Аналогично по формулам (8) и (9) находим:

₁^*= Q_xy / Q_y = 1,3285

₀^*=-^*₁=6,8908- 1,3285 *4,9504 =0,3144

Отсюда, выборочная линейная регрессия X на Y имеет уравнение:

x = ^*₀ +^*₁y = 0,3144+1,3285*y

Для контроля правильности расчетов используем соотношение (10):

(₁^*₁^*)^1/2= r == 0,9057 = r

Следовательно, расчёты верны.

Прямые

y=0,6951+0,6175*x, x=0,3144+1,3285*y

пересекаются в точке с координатами (6,8908; 4,9504)

2. Вычисление ei , Qe , Qr , s2 , r2, rxy

Вычисляем остатки:

e_i = y_i –_i, i = 1,2,......,n . Все остатки приведены в таблице.

Находим остаточную сумму квадратов Q_e

Q_e = e²_i = 12,881336

По формуле (15) находим сумму квадратов, обусловленную регреccией Q_r

Q_r= Q_y -Q_e = 71,710992-12,881336 = 58,829656

Оценка остаточной дисперсии по формуле (12) равна

S²= Q_e/(n-2) = 12,881336 /(50-2) 0,26836

Коэффициент детерминации R² по формуле (16)

R²= Q_r / Q_y = = 0,82037

Выборочный коэффициент корреляции

r_xy= ( знак ^*₁ ) R = 0,905744

3.Доверительные интервалы.

Значение квантили t_1-/2(n-2)= t_0,95(48) = 1,678 (таблица П6)

Границы доверительных интервалов равны: для коэффициента ₀^*:

₀^*  t_1-/2(n-2) * s * =

0,6951  1,678*(0,26836*2528,4242/50*154,267968)^1/2 = 0,6951  0,4977

min = 0,1974 max = 1,1928

для коэффициента ₁^*

₁^*  t_1-/2(n-2)* s * = 0,6175  1,678*(0,26836/154,267968)^1/2 =

0,6175  0,0699

min = 0,5475 max = 0,6875

Границы доверительного интервала для значения Y₀ соответствующего заданному значению переменной x=x₀:

y₀^*  t_1-/2(n-2) * s *[ + ()]^1/2 =

= y₀^*  0,86926*

Границы доверительного интервала для дисперсии ошибок наблюдений ²

< ² <

48*0,26836/64,6665 < ² < 48*0,26836/33,2

0,1992< ² <0,3880

4. Вычисление s21 s22 с помощью однофакторного дисперсионного анализа и проверка гипотезы h0

Задача заключается в проверке гипотезы H₀ : m₁=m₂ где m_k– математическое ожидание чисел k-й группы.В нашем случае l=2,n=100.

Вычисления удобно проводить в такой последовательности

x . .=  x_ik= 344,54+ 247,52= 592,06

 x²_ik= 2528,4242 + 1297,034 = 3825,4582

Далее из (17) и (18) получаем

Q=3825,4582 – 320,1078

Q₁ == 94,1288

Q₂ = Q - Q₁ = 225,979

Найдем статистики S²₁ и S²₂

S₁²= = 94,1288

S₂²= = 225,979/98 = 2,3059

Найдем выборочное значение статистики H₀ по формуле (19):

F_в= = = 40,82

Так как квантиль распределения Фишера F_1-(1,n-2)= F_0,9 (1,48)=2,84 , что меньше выборочного значения статистики F_в, то гипотеза H₀ отклоняется на уровне значимости  = 0,1.

14