3. Однофакторный дисперсионный анализ.

Пусть результаты наблюдений составляют l независимых выборок (групп), полученных из l нормально распределенных генеральных совокупностей, которые имеют, вообще говоря, различные средние m₁ , m₂ , ..... , m_l и равные дисперсии ². Проверяется гипотеза о равенстве средних H₀ m₁= m₂ = ..... =m_l. На практике такая задача возникает при исследовании влияния, которое оказывает изменение некоторого фактора на измеряемую величину. Например, если измерения проводятся на l различных приборах, то можно исследовать влияние фактора «прибор» на результаты измерений. В данном случае нас интересует вопрос, имеют ли различные приборы одну и ту же систематическую ошибку (гипотеза H₀) . При l = 2 для проверки гипотезы H₀ используется известные критерии значимости. Если l > 2, то для проверки гипотезы о равенстве l средних применяют однофакторный дисперсионный анализ, суть которого состоит в следующем.

Пусть x_ik обозначает i–й элемент k–й выборки , i = 1,2,......,n , k = 1,2,......,l , _k-выборочное среднее k–й выборки, т.е.

_k=(1/n_k)  x_ik = (1/n) x ._.k ,

k^*- общее выборочное среднее, т.е.

=(1/n)  x_ik = (1/n) x . . ,

где n – общее число наблюдений, n=  n_k

Общая сумма квадратов отклонений наблюдений от общего среднего x^* может быть представлена так :

 ( x_ik – )²= n_k (_k – )²+ ( x_ik – _k)² (17)

Это основное тождество дисперсионного анализа. Запишем его в виде

Q=Q₁+Q₂ (18)

Где Q- общая сумма квадратов отклонений наблюдений от общего среднего, Q₁ – сумма квадратов отклонений выборочных средних x^*_k от общего среднего x^* (между группами), Q₂-сумма квадратов отклонений наблюдений от выборочных средних групп (внутри групп).

Тождество (1) легко проверяется , если воспользоваться очевидным равенством

( x_ik – )= [(_k – )+ ( x_ik – _k)]

и учесть, что

 ( x_ik – _k) (_k – )=0

в силу определения средних _k и

Если верна гипотеза H₀:m₁=m₂= .....=m_l, то статистикиQ_1/²иQ₂/²независимы и имеют распределение²сl-1 иn-lстепенями свободы. Следовательно, статистикиS²₁₌Q₁/(l-1) иS²₂₌Q₂/(n-l) являются несмещенными оценками неизвестной дисперсии². ОценкаS²₁ характеризует рассеяние групповых средних, а оценкаS²₂–рассеяние внутри групп, которое обусловлено случайными вариациями результатов наблюдений. Значительное превышение величиныS²₁ над значением величиныS²₂ можно объяснить различием средних в группах. Отношение этих оценок имеет распределение Фишера с l-1 иn-l степенями свободы, т.е.

S²₁/S²₂₌ Q₁(n-l)/(l-1)Q₂ = F(l-1,n-l) (19)

Статистика используется для проверки гипотезы H₀:m₁= m₂ = .....= m_l. Гипотеза H₀ не противоречит результатам наблюдений, если выборочное значение F_в статистики меньше квантили F_1-(l-1,n-l) , т.е. если F_в< F_1-(l-1,n-l). В этом случае иQ₂/(n-l) являются несмещенными оценками параметров m и ².Если F_в< F_1-(l-1,n-l), то гипотеза H₀ отклоняется и следует считать, что среди средних m₁, m₂ , ....., m_l имеется хотя бы два не равных друг другу.

Линейные контрасты

Если гипотеза о равенстве средних отклоняется, то требуется определить, какие именно группы имеют значимое различие средних. Для этих целей используется метод линейных контрастов. Линейный контраст Lk определяется как линейная комбинация

Lk=c_km_k

где c_k k = 1,2,......,l- константы, однозначно определяемые из формулировки проверяемых гипотез, причем c_k = 0 . Оценка Lk равна Lk^* =c_kx^*_k, а оценка дисперсии Lk^* равна

S²_LK = D[Lk^*] = ^*2 (c²_k/n_k) = Q₂/(n-l)  (c²_k/n_k)