3.Однофакторный дисперсионный анализ.

Пусть результаты наблюдений составляют l независимых выборок , полученных изlнормально распределенных генеральных совокупностей , которые имеют различные средние , ,…, и равные дисперсии. Проверяется гипотеза о равенстве средних. На практике такая задача возникает при исследовании влияния , которое оказывает изменение некоторого фактора на измеряемую величину . Например , если измерения проводятся наlразличных приборах , то можно исследовать влияние фактора (прибор ) на результат измерений . Приl=2 для проверки гипотезы используются известные критерии значимости . Еслиl>2 , то для проверки гипотезы о равенствеlсредних применяют однофакторный дисперсионный анализ, суть которого состоит в следующем.

Пусть обозначаетi-й элементk-й выборки ,i=1,2,…,n,k=1,2,…,L; -выборочное среднееk-й выборки т.е.

; – общее выборочное среднее т.е., гдеn – число наблюдений.

Общая сумма квадратов отклонений наблюдений от общего среднего может быть представлено так:

.

Это основное тождество дисперсионного анализа. Запишем его в виде , где– общая сумма квадратов отклонений наблюдений от общего среднего,– сумма квадратов отклонений выборочных среднихXkот общего среднегоX(между группами), – сумма квадратов отклонений наблюдений от выборочных средних групп (внутри групп).

Если верна гипотеза , то статистики инезависимы и имеют распределениесl-1 иn-lстепенями свободы. Следовательно, статистикии являются несмещенными оценками неизвестной дисперсии. Оценка характеризует рассеяние групповых средних, а – рассеяние внутри групп , которое обусловлено случайными вариациями результатов наблюдений . Значительное превышение величинынад значением можно объяснить различием средних в группах . Отношение этих оценок имеет распределение Фишера т.е..

Статистика используется для проверки гипотезы. Гипотеза не противоречит результатам наблюдений, если выборочное значениестатистики меньше квантили. В этом случаеи являются несмещенными оценками параметрови. Если, то гипотеза отклоняется и следует считать, что среди среднихимеется хотя бы два не равных друг другу.

Практическая часть

Все вычисленные данные представлены в таблице ниже. Для пояснения здесь приведены только некоторые из них.

Выборочная линейная регрессия YнаX:-0.2810+0.7297x

Выборочная линейная регрессия XнаY: 2.66+0.54y

Доверительные интервалы:

- для : -0.28100.9618

- для : 0.72970.4041

- для среднего значения при заданном значении :

- для дисперсии ошибок наблюдений :

Распределение Фишера в однофакторном дисперсионном анализе: 18.0549

Так как квантиль распределения Фишера F_1-(1,n-2)= F_0,9(1,48)=2,84 , что меньше выборочного значения статистикиF_в, то гипотезаH₀отклоняется на уровне значимости= 0,1.