3.Однофакторный дисперсионный анализ.
Пусть результаты наблюдений составляют
независимых выборок, полученных нормально
распределенных генеральных совокупностей,
которые имеют различные средние
и равные дисперсии
.
Проверяется гипотеза о равенстве средних
На
практике такая задача возникает при
исследовании влияния, которое оказывает
изменение некоторого фактора на
измеряемую величину. Например, если
измерения проводятся на
различных приборах, то можно исследовать
влияние фактора «прибор» на результаты
измерений. В данном случае нас интересует
вопрос, имеют ли различные приборы одну
и ту же систематическую ошибку.
Пусть
обозначает
-й
элемент
-й
выборки,
-выборочное
среднее
-й
выборки, т.е.
;
-
общее выборочное среднее, т.е.
где
-общее
число наблюдений,
Общая сумма квадратов отклонений от
общего среднего
может быть представлена так:
Это основное тождество дисперсионного анализа. Запишем его в виде
где
-общая
сумма квадратов отклонений наблюдений
от общего среднего,
- сумма квадратов отклонений выборочных
средних
от общего среднего
,
-
сумма квадратов отклонений наблюдений
от выборочных средних.
Данное тождество легко проверяется, если учесть, что
и
в силу определения
и
Если верна гипотеза
:
,
то статистики
и
независимы и имеют распределение
с
и
степенями свободы. Следовательно,
статистики
и
являются несмещенными оценками дисперсии
.
Значительное превышение величины
над значением величины
можно объяснить различием средних в
группах. Отношение этих оценок имеет
распределение Фишера с
и
степенями
свободы, т.е.
Эта статистика используется для проверки
гипотезы
:
.
Гипотеза
не
противоречит результатам наблюдений,
если выборочное значение
статистики меньше квантили
.
В этом случае
и
являются несмещенными оценками параметров
и
.
Если
то гипотеза
отклоняется и следует считать, что среди
средних
имеется хотя бы два не равных друг другу.
Практическая часть.
Выборочная линейная регрессия
на
по выборке
,
определяется уравнением
.
Тогда
.
,
Аналогично определяется выборочная
линейная регрессия
на
:
.
Найдем коэффициент корреляции:
Проверка:
Прямые
пересекутся в точке (4,1744; 2,765).
Вычислим остатки
(см. таблицу),
где
- расчетные значения.
Найдем остаточную сумму квадратов
.
Остаточная дисперсия
Сумма квадратов, обусловленная регрессией
Коэффициент детерминации
Коэффициент корреляции
Границы доверительных интервалов для параметров линейной регрессии имеют вид
Границы доверительного интервала для
среднего значения
,
соответствующего заданному значению
,
определяются формулой
Доверительный интервал для дисперсии
ошибок наблюдений
имеет вид
,
.
Используя однофакторный дисперсионный
анализ, найти
и
дл проверки гипотезы
по выборке
(уровень
значимости
).
Сумма всех элементов (компонент) выборки
Найдем
Далее
Тогда
Выборочное значение статистики
.
Найдем по таблице квантиль
.
Так как
,
то гипотеза о равенстве средних возможно
верна.
|
Вводимые данные |
ΔX² |
ΔY² |
Произведение величин |
Остатки |
Остаточная сумма квадратов |
||||
|
X |
Y |
(X-ср(y))² |
(Y-ср(y))² |
X² |
Y² |
XY |
(X+Y)² |
ei |
Qe |
|
5.72 |
4.04 |
2.3889 |
1.6256 |
32.7184 |
16.3216 |
23.1088 |
95.2576 |
0.1472 |
0.0217 |
|
2.27 |
1.25 |
3.6267 |
2.2952 |
5.1529 |
1.5625 |
2.8375 |
12.3904 |
-0.1254 |
0.0157 |
|
7.03 |
5.27 |
8.1545 |
6.2750 |
49.4209 |
27.7729 |
37.0481 |
151.2900 |
0.4213 |
0.1775 |
|
4.37 |
5.06 |
0.0383 |
5.2670 |
19.0969 |
25.6036 |
22.1122 |
88.9249 |
2.1523 |
4.6323 |
|
3.67 |
2.00 |
0.2544 |
0.5852 |
13.4689 |
4.0000 |
7.3400 |
32.1489 |
-0.3969 |
0.1576 |
|
3.7 |
2.8 |
0.2251 |
0.0012 |
13.6900 |
7.8400 |
10.3600 |
42.2500 |
0.3812 |
0.1453 |
|
0.25 |
0.36 |
15.4009 |
5.7840 |
0.0625 |
0.1296 |
0.0900 |
0.3721 |
0.4586 |
0.2103 |
|
1.82 |
1.14 |
5.5432 |
2.6406 |
3.3124 |
1.2996 |
2.0748 |
8.7616 |
0.0930 |
0.0086 |
|
6.55 |
5.6 |
5.6435 |
8.0372 |
42.9025 |
31.3600 |
36.6800 |
147.6225 |
1.1016 |
1.2135 |
|
3.71 |
1.93 |
0.2157 |
0.6972 |
13.7641 |
3.7249 |
7.1603 |
31.8096 |
-0.4961 |
0.2462 |
|
5.15 |
4.54 |
0.9518 |
3.1506 |
26.5225 |
20.6116 |
23.3810 |
93.8961 |
1.0631 |
1.1302 |
|
3.34 |
0.97 |
0.6962 |
3.2220 |
11.1556 |
0.9409 |
3.2398 |
18.5761 |
-1.1862 |
1.4070 |
|
4.56 |
0.35 |
0.1487 |
5.8322 |
20.7936 |
0.1225 |
1.5960 |
24.1081 |
-2.6964 |
7.2704 |
|
2.88 |
1.17 |
1.6755 |
2.5440 |
8.2944 |
1.3689 |
3.3696 |
16.4025 |
-0.6505 |
0.4232 |
|
3.83 |
2.53 |
0.1186 |
0.0552 |
14.6689 |
6.4009 |
9.6899 |
40.4496 |
0.0163 |
0.0003 |
|
6.31 |
2.64 |
4.5608 |
0.0156 |
39.8161 |
6.9696 |
16.6584 |
80.1025 |
-1.6833 |
2.8335 |
|
3.84 |
3.34 |
0.1118 |
0.3306 |
14.7456 |
11.1556 |
12.8256 |
51.5524 |
0.8190 |
0.6708 |
|
1.78 |
1.81 |
5.7332 |
0.9120 |
3.1684 |
3.2761 |
3.2218 |
12.8881 |
0.7921 |
0.6275 |
|
4.08 |
3.41 |
0.0089 |
0.4160 |
16.6464 |
11.6281 |
13.9128 |
56.1001 |
0.7139 |
0.5096 |
|
4.89 |
4.67 |
0.5121 |
3.6290 |
23.9121 |
21.8089 |
22.8363 |
91.3936 |
1.3828 |
1.9122 |
|
4.2 |
0.1 |
0.0007 |
7.1022 |
17.6400 |
0.0100 |
0.4200 |
18.4900 |
-2.6837 |
7.2021 |
|
2.59 |
1.96 |
2.5103 |
0.6480 |
6.7081 |
3.8416 |
5.0764 |
20.7025 |
0.3511 |
0.1233 |
|
5.68 |
3.51 |
2.2668 |
0.5550 |
32.2624 |
12.3201 |
19.9368 |
84.4561 |
-0.3536 |
0.1250 |
|
2.86 |
0.76 |
1.7276 |
4.0200 |
8.1796 |
0.5776 |
2.1736 |
13.1044 |
-1.0459 |
1.0939 |
|
3.79 |
2.12 |
0.1478 |
0.4160 |
14.3641 |
4.4944 |
8.0348 |
34.9281 |
-0.3645 |
0.1329 |
|
4.28 |
4.92 |
0.0112 |
4.6440 |
18.3184 |
24.2064 |
21.0576 |
84.6400 |
2.0779 |
4.3179 |
|
5.2 |
1.93 |
1.0519 |
0.6972 |
27.0400 |
3.7249 |
10.0360 |
50.8369 |
-1.5834 |
2.5070 |
|
4.01 |
3.82 |
0.0270 |
1.1130 |
16.0801 |
14.5924 |
15.3182 |
61.3089 |
1.1750 |
1.3805 |
|
5.59 |
5.3 |
2.0039 |
6.4262 |
31.2481 |
28.0900 |
29.6270 |
118.5921 |
1.5021 |
2.2562 |
|
4.22 |
0.4 |
0.0021 |
5.5932 |
17.8084 |
0.1600 |
1.6880 |
21.3444 |
-2.3983 |
5.7517 |
|
5.62 |
4.16 |
2.0898 |
1.9460 |
31.5844 |
17.3056 |
23.3792 |
95.6484 |
0.3402 |
0.1157 |
|
5.7 |
3.55 |
2.3275 |
0.6162 |
32.4900 |
12.6025 |
20.2350 |
85.5625 |
-0.3282 |
0.1077 |
|
4.5 |
3.57 |
0.1060 |
0.6480 |
20.2500 |
12.7449 |
16.0650 |
65.1249 |
0.5674 |
0.3220 |
|
0.2 |
2.69 |
15.7959 |
0.0056 |
0.0400 |
7.2361 |
0.5380 |
8.3521 |
2.8250 |
7.9809 |
|
5.12 |
3.73 |
0.8942 |
0.9312 |
26.2144 |
13.9129 |
19.0976 |
78.3225 |
0.2750 |
0.0756 |
|
3.71 |
3.67 |
0.2157 |
0.8190 |
13.7641 |
13.4689 |
13.6157 |
54.4644 |
1.2439 |
1.5472 |
|
5.33 |
4.01 |
1.3354 |
1.5500 |
28.4089 |
16.0801 |
21.3733 |
87.2356 |
0.4018 |
0.1614 |
|
5.98 |
4.16 |
3.2602 |
1.9460 |
35.7604 |
17.3056 |
24.8768 |
102.8196 |
0.0775 |
0.0060 |
|
3.47 |
1.73 |
0.4962 |
1.0712 |
12.0409 |
2.9929 |
6.0031 |
27.0400 |
-0.5210 |
0.2715 |
|
5.01 |
5.87 |
0.6982 |
9.6410 |
25.1001 |
34.4569 |
29.4087 |
118.3744 |
2.4953 |
6.2264 |
|
4.42 |
2.15 |
0.0603 |
0.3782 |
19.5364 |
4.6225 |
9.5030 |
43.1649 |
-0.7942 |
0.6308 |
|
2.55 |
0.24 |
2.6387 |
6.3756 |
6.5025 |
0.0576 |
0.6120 |
7.7841 |
-1.3397 |
1.7948 |
|
5.25 |
2.87 |
1.1569 |
0.0110 |
27.5625 |
8.2369 |
15.0675 |
65.9344 |
-0.6798 |
0.4622 |
|
5.36 |
1.87 |
1.4056 |
0.8010 |
28.7296 |
3.4969 |
10.0232 |
52.2729 |
-1.7601 |
3.0980 |
|
4.82 |
0.12 |
0.4168 |
6.9960 |
23.2324 |
0.0144 |
0.5784 |
24.4036 |
-3.1161 |
9.7100 |
|
4.47 |
2.46 |
0.0874 |
0.0930 |
19.9809 |
6.0516 |
10.9962 |
48.0249 |
-0.5207 |
0.2711 |
|
3.82 |
3.07 |
0.1256 |
0.0930 |
14.5924 |
9.4249 |
11.7274 |
47.4721 |
0.5636 |
0.3176 |
|
6.99 |
7.76 |
7.9276 |
24.9500 |
48.8601 |
60.2176 |
54.2424 |
217.5625 |
2.9405 |
8.6466 |
|
1.51 |
0.71 |
7.0990 |
4.2230 |
2.2801 |
0.5041 |
1.0721 |
4.9284 |
-0.1108 |
0.0123 |
|
2.72 |
0.16 |
2.1153 |
6.7860 |
7.3984 |
0.0256 |
0.4352 |
8.2944 |
-1.5438 |
2.3832 |
|
∑X |
∑Y |
∑ΔX |
∑ΔY |
∑X² |
∑Y² |
∑XY |
∑(X+Y)² |
∑ei |
∑ei² |
|
208.72 |
138.25 |
116.01 |
154.41 |
987.29 |
536.67 |
661.76 |
2847.49 |
0.0000 |
92.6447 |