- •Московский Институт Электронной Техники
- •Теоретическая часть. Статистическое описание и выборочные характеристики двумерного случайного вектора.
- •Для контроля правильности вычислений используется тождество
- •Однофакторный дисперсионный анализ.
- •Границы доверительного интервала для Lk имеют вид
- •Практическая часть.
- •Для контроля правильности вычислений используется тождество
Границы доверительного интервала для Lk имеют вид
Lk* SLK [(n-l) F1-(l-1,n-l)]1/2
Практическая часть.
Построить диаграмму рассеяния нанести на нее уравнения регресси Y на X
y=0 +1x и X на Y x='0 +'1y.
Объем выборки n=50. Предварительно вычислим
xi = 858,11
yi = 956,97
x2i = 14783,31
y2i = 18361,90
xiyi =16466,47
Тогда по формуле (1)
x=858,11/50= 17,1622 , y=956,97/50=19,1394
Для контроля правильности вычислений используется тождество
(xi+yi)2= 66078,15
x2i + 2 xiyi + y2i = 14783,31+2*16466,47+18361,90=66078,15
Следовательно, вычисления проведены верно . Предварительно найдем
Qx=14783,31- (858,11)2/50= 56,2589
Qy=18361,90- (956,97)2/50= 46,0647
Qxy=16466,47- (858,11)( 956,97)/50= 42,7608
Окончательно из соотношений (5) получаем
Dx=1,1252, Dy = 0,9213
R=0,8400
По формулам (6) и (7) найдем оценки коэффициентов регрессии
1= 42,7608/ 56,2589= 0,7601
0 = 19,1394- 0,7601*17,1622 = 6,0949
'1= 42,7608/ 46,0647=0,9283
'0=17,1622 - 0,9283 *19,1394= -0,6045.
Таким образом, выборочная линейная регрессия имеет вид
y=6,0949 +0,7601*x
x=-0,6045+0,9283 *y
Точка пересечения (17,1622 ;19,1394)
ei = yi – y i, i = 1,2,......,n . Все остатки приведены в таблице 1.
Находим остаточную сумму квадратов Qe
Qe = e2i=13,5634
По формуле (15) находим сумму квадратов, обусловленную регреccией Qr
Qr= Qy -Qe = 46,0647-13,5634=32,5012
Оценка дисперсии ошибок наблюдений по формуле (12) равна
S2=13,5634/(50-2)=0,2826
s=0,5316
Значение квантили t1-/2(n-2)= t1-/2(48) = 1,684
Границы доверительных интервалов равны: для коэффициента 0
0 t1-/2(n-2) * s * [x2i/(n*Qx)]1/2 =6,0949 1,684* 0,5316* [(14783,31/(50*56,2589)]1/2= 6,0949 2,0523
для коэффициента 1
1 t1-/2(n-2) * s * [1/Qx]1/2 = 0,7601 1,684 * 0,5316 (1/56,2589)1/2=0,7601 0,1259
Границы доверительного интервала для значения Y0 соответствующего заданному значению переменной x=x0:
y0 t1-/2(n-2) * s *[1/n + {(x0-x)2/Qx}]1/2= y0 1,684 * 0, 0,5316*[1/50 + {(x0- 17,1622)2/56,2589}]1/2 = y0 0,8952*[1/50 + {(x0- 17,1622)2/56,2589}]1/2
Границы доверительного интервала для дисперсии ошибок наблюдений 2
[(n-2)* s2]/21-/2(n-2) < 2 < [(n-2)*s2]/2/2(n-2)
[48*0,2826]/73,2< 2 < [48*0,2826]/33,4
0.1853< 2 < 0,4061
Коэффициент детерминации R2 по формуле (16)
R2= 1 – (13,563446,0647)=0,7056
Этот результат означает, что полученное уравнение регрессии на 70,56% объясняет общий разброс результатов наблюдений относительно горизонтальной прямой y=19,1394. Выборочный коэффициент корреляции
rxy= + (0,7056)1/2=0,8400
3)Однофакторный дисперсионный анализ
Задача заключается в проверке гипотезы H0 : m1=m2 . В нашем случае l=2 n=100.
Вычисления удобно проводить в такой последовательности
Lk = xik=858,11+956,97=1815,08
x2ik=14783,31+ 18361,90 =33145,21
Далее из (17) и (18) получаем
Q=33145,21– (1815,08)2 /100= 200,0565
Q1=[(858,112+956,972)/50 ] - (1815,08)2 /100 =97,7330
Q2 = Q - Q1=102,3235
Найдем статистики S21 и S22
S21= Q1(l-1)= 97,7330
S22= Q2/(n-1)= 102,3235/ 98=1,0441
Найдем выборочное значение статистики H0
Fв= ( n-2 ) Q1 / [Q2 (l-1)]= S21 / S22 = 93,60
Так как квантиль распределения Фишера F1-(1,n-2)= F0,9(1,98)=2,77 ,что меньше выборочного значения статистики Fв, то гипотеза H0 отклоняется на уровне значимости = 0,1. Таким образом, линейная регрессия Y на X статистически значима.
Вводимые данные |
ΔX² |
ΔY² |
Произведение величин |
Остатки |
Остаточная сумма квадратов | ||||
X |
Y |
(X-ср(y))² |
(Y-ср(y))² |
X² |
Y² |
XY |
(X+Y)² |
ei |
Qe |
16,89 |
18,52 |
0,0741 |
0,3837 |
285,2721 |
342,9904 |
312,8028 |
1253,8681 |
-0,4125 |
0,1702 |
17,63 |
19,96 |
0,2188 |
0,6734 |
310,8169 |
398,4016 |
351,8948 |
1413,0081 |
0,4650 |
0,2163 |
17,11 |
18,84 |
0,0027 |
0,0896 |
292,7521 |
354,9456 |
322,3524 |
1292,4025 |
-0,2597 |
0,0675 |
17,16 |
18,89 |
0,0000 |
0,0622 |
294,4656 |
356,8321 |
324,1524 |
1299,6025 |
-0,2477 |
0,0614 |
17,23 |
18,94 |
0,0046 |
0,0398 |
296,8729 |
358,7236 |
326,3362 |
1308,2689 |
-0,2509 |
0,0630 |
17,16 |
20,14 |
0,0000 |
1,0012 |
294,4656 |
405,6196 |
345,6024 |
1391,2900 |
1,0023 |
1,0045 |
15,92 |
18,25 |
1,5431 |
0,7910 |
253,4464 |
333,0625 |
290,5400 |
1167,5889 |
0,0548 |
0,0030 |
18,37 |
19,55 |
1,4588 |
0,1686 |
337,4569 |
382,2025 |
359,1335 |
1437,9264 |
-0,5074 |
0,2575 |
18,98 |
21,23 |
3,3044 |
4,3706 |
360,2404 |
450,7129 |
402,9454 |
1616,8441 |
0,7089 |
0,5026 |
16,64 |
18,74 |
0,2727 |
0,1595 |
276,8896 |
351,1876 |
311,8336 |
1251,7444 |
-0,0025 |
0,0000 |
18,33 |
20,86 |
1,3638 |
2,9605 |
335,9889 |
435,1396 |
382,3638 |
1535,8561 |
0,8330 |
0,6939 |
19,95 |
21,11 |
7,7718 |
3,8833 |
398,0025 |
445,6321 |
421,1445 |
1685,9236 |
-0,1483 |
0,0220 |
18,21 |
19,91 |
1,0979 |
0,5938 |
331,6041 |
396,4081 |
362,5611 |
1453,1344 |
-0,0258 |
0,0007 |
16,41 |
17,74 |
0,5658 |
1,9583 |
269,2881 |
314,7076 |
291,1134 |
1166,2225 |
-0,8277 |
0,6850 |
17,19 |
19,37 |
0,0008 |
0,0532 |
295,4961 |
375,1969 |
332,9703 |
1336,6336 |
0,2095 |
0,0439 |
17,26 |
17,94 |
0,0096 |
1,4386 |
297,9076 |
321,8436 |
309,6444 |
1239,0400 |
-1,2737 |
1,6224 |
16,17 |
17,86 |
0,9845 |
1,6369 |
261,4689 |
318,9796 |
288,7962 |
1158,0409 |
-0,5253 |
0,2759 |
15,85 |
18,36 |
1,7219 |
0,6075 |
251,2225 |
337,0896 |
291,0060 |
1170,3241 |
0,2180 |
0,0475 |
16,37 |
19,63 |
0,6276 |
0,2407 |
267,9769 |
385,3369 |
321,3431 |
1296,0000 |
1,0927 |
1,1941 |
17,66 |
19,76 |
0,2478 |
0,3851 |
311,8756 |
390,4576 |
348,9616 |
1400,2564 |
0,2422 |
0,0587 |
16,32 |
18,28 |
0,7093 |
0,7386 |
266,3424 |
334,1584 |
298,3296 |
1197,1600 |
-0,2193 |
0,0481 |
17,31 |
18,91 |
0,0218 |
0,0526 |
299,6361 |
357,5881 |
327,3321 |
1311,8884 |
-0,3417 |
0,1168 |
15,31 |
17,80 |
3,4306 |
1,7940 |
234,3961 |
316,8400 |
272,5180 |
1096,2721 |
0,0684 |
0,0047 |
17,51 |
18,38 |
0,1210 |
0,5767 |
306,6001 |
337,8244 |
321,8338 |
1288,0921 |
-1,0238 |
1,0481 |
18,33 |
20,64 |
1,3638 |
2,2518 |
335,9889 |
426,0096 |
378,3312 |
1518,6609 |
0,6130 |
0,3758 |
16,14 |
18,96 |
1,0449 |
0,0322 |
260,4996 |
359,4816 |
306,0144 |
1232,0100 |
0,5975 |
0,3571 |
16,09 |
18,36 |
1,1496 |
0,6075 |
258,8881 |
337,0896 |
295,4124 |
1186,8025 |
0,0355 |
0,0013 |
18,17 |
19,86 |
1,0157 |
0,5193 |
330,1489 |
394,4196 |
360,8562 |
1446,2809 |
-0,0454 |
0,0021 |
15,04 |
16,69 |
4,5037 |
5,9996 |
226,2016 |
278,5561 |
251,0176 |
1006,7929 |
-0,8364 |
0,6995 |
17,71 |
19,59 |
0,3001 |
0,2030 |
313,6441 |
383,7681 |
346,9389 |
1391,2900 |
0,0342 |
0,0012 |
17,35 |
19,86 |
0,0353 |
0,5193 |
301,0225 |
394,4196 |
344,5710 |
1384,5841 |
0,5779 |
0,3339 |
18,00 |
19,93 |
0,7019 |
0,6250 |
324,0000 |
397,2049 |
358,7400 |
1438,6849 |
0,1538 |
0,0237 |
18,33 |
20,28 |
1,3638 |
1,3010 |
335,9889 |
411,2784 |
371,7324 |
1490,7321 |
0,2530 |
0,0640 |
18,39 |
19,72 |
1,5075 |
0,3371 |
338,1921 |
388,8784 |
362,6508 |
1452,3721 |
-0,3526 |
0,1243 |
15,37 |
18,21 |
3,2120 |
0,8638 |
236,2369 |
331,6041 |
279,8877 |
1127,6164 |
0,4328 |
0,1873 |
17,35 |
19,61 |
0,0353 |
0,2215 |
301,0225 |
384,5521 |
340,2335 |
1366,0416 |
0,3279 |
0,1075 |
16,04 |
17,91 |
1,2593 |
1,5114 |
257,2816 |
320,7681 |
287,2764 |
1152,6025 |
-0,3764 |
0,1417 |
17,51 |
19,16 |
0,1210 |
0,0004 |
306,6001 |
367,1056 |
335,4916 |
1344,6889 |
-0,2438 |
0,0594 |
18,00 |
19,49 |
0,7019 |
0,1229 |
324,0000 |
379,8601 |
350,8200 |
1405,5001 |
-0,2862 |
0,0819 |
15,60 |
18,25 |
2,4405 |
0,7910 |
243,3600 |
333,0625 |
284,7000 |
1145,8225 |
0,2980 |
0,0888 |
19,04 |
20,33 |
3,5261 |
1,4175 |
362,5216 |
413,3089 |
387,0832 |
1549,9969 |
-0,2367 |
0,0560 |
18,46 |
19,34 |
1,6843 |
0,0402 |
340,7716 |
374,0356 |
357,0164 |
1428,8400 |
-0,7858 |
0,6175 |
17,09 |
18,94 |
0,0052 |
0,0398 |
292,0681 |
358,7236 |
323,6846 |
1298,1609 |
-0,1445 |
0,0209 |
17,08 |
18,97 |
0,0068 |
0,0287 |
291,7264 |
359,8609 |
324,0076 |
1299,6025 |
-0,1069 |
0,0114 |
17,20 |
19,81 |
0,0014 |
0,4497 |
295,8400 |
392,4361 |
340,7320 |
1369,7401 |
0,6419 |
0,4120 |
17,58 |
18,70 |
0,1746 |
0,1931 |
309,0564 |
349,6900 |
328,7460 |
1316,2384 |
-0,7570 |
0,5730 |
15,52 |
17,85 |
2,6968 |
1,6626 |
240,8704 |
318,6225 |
277,0320 |
1113,5569 |
-0,0412 |
0,0017 |
16,18 |
18,72 |
0,9647 |
0,1759 |
261,7924 |
350,4384 |
302,8896 |
1218,0100 |
0,3271 |
0,1070 |
17,36 |
20,23 |
0,0391 |
1,1894 |
301,3696 |
409,2529 |
351,1928 |
1413,0081 |
0,9403 |
0,8841 |
16,24 |
18,59 |
0,8505 |
0,3018 |
263,7376 |
345,5881 |
301,9016 |
1213,1289 |
0,1515 |
0,0230 |
∑X |
∑Y |
∑ΔX |
∑ΔY |
∑X² |
∑Y² |
∑XY |
∑(X+Y)² |
∑ei |
∑ei² |
858,11 |
956,97 |
56,26 |
46,06 |
14783,31 |
18361,90 |
16466,47 |
66078,15 |
0,0000 |
13,5634 |
Среднее значение X |
Среднее значение Y |
ср(x) |
ср(y) |
17,1622 |
19,1394 |
Сумма квадратов отклонений от среднего и произведений отклонений от средних |
Дисперсии и коэффициент корреляции |
Выборочные коэффициенты регрессии Y на X и X наY соответственно | |||||||
Qx |
Qy |
Qxy |
Dx(σ²x) |
Dy(σ²y) |
r |
β¹y |
βºy |
β¹x |
βºx |
56,2589 |
46,0647 |
42,7608 |
1,1252 |
0,9213 |
0,8400 |
0,7601 |
6,0949 |
0,9283 |
-0,6045 |
Остаточная дисперсия |
Коэффициент детерминации |
Сумма квадратов,обусловленная регрессией |
Коэффициент корреляции |
s² |
R² |
Qr |
rxy |
0,2826 |
0,7056 |
32,5012 |
0,8400 |
Константа Стьюдента |
Квантили хи-квдрат распределения |
Сумма чисел в выборках |
Сумма квадратов отклонений:от общего среднего,между группами,внутри групп. | |||
t0.95(48) |
χ20.95(48) |
χ20.05(48) |
∑∑Xk |
Q |
Q1 |
Q2 |
1,6840 |
73,2000 |
33,4000 |
1815,0800 |
200,0565 |
97,7330 |
102,3235 |
Рассеяние групповых средних |
Рассеяние внутри групп |
Распределение Фишера |
S12 |
S22 |
Fb |
97,7330 |
1,0441 |
93,60 |
Доверительные интервалы: | |||||
Для параметров линейной регрессии |
для дисперсии ошибок наблюдений | ||||
minβ1 |
maxβ1 |
minβ0 |
maxβ0 |
minσ2 |
maxσ2 |
0,6407 |
0,8920 |
4,0427 |
8,1471 |
0,1853 |
0,4061 |