степенные ряды

Определение

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x₀), то есть ряд вида

где x₀ − действительное число.

Интервал и радиус сходимости

Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.  Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называетсярадиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.  Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

КОШИ - АДАМАРА ТЕОРЕМА

пусть задан степенной ряд 

Если  то ряд (1) сходится только в точке z=a; если  то ряд (1) абсолютно сходится в круге  радиуса 

и расходится вне этого круга при  если  то ряд (1) абсолютно сходится при всех  Содержание К. - А. т. выражается, таким образом, формулой Коши - Адамара (2), к-рую при этом следует понимать в расширенном смысле, включая равенства  Иначе говоря, содержание К.- А. т. состоит в том, что внутренность множества точек (абсолютной) сходимости ряда (1) есть круг  радиуса (2). В случае действительного степенного ряда (1) формула (2) определяет радиус интервала сходимости  В основном К.- А. т. была высказана О. Коши (A. Cauchy) в его лекциях [1], опубликованных в 1821, полную ясность в формулировку и доказательство внес Ж. Адамар [2]. Для степенных рядов 

но n комплексным переменным  обобщением формулы Коши - Адамара является следующее соотношение:

к-рому удовлетворяют сопряженные радиусы сходимости r₁ . . . , r_n ряда (3) (см. Круг сходимости). Записав соотношение (4) в виде  получают уравнение, определяющее границу нек-рой логарифмически выпуклой кратно круговой области с центром а, к-рая и является внутренностью множества точек абсолютной сходимости ряда (3) при n>1.