Лекция 14. Непрерывность функции

Лекция 14. Непрерывность функции.

14.1. Определения непрерывности функции.

Определение 14.1. Функция называется непрерывной в точке a, если она удовлетворяет следующим трём условиям:

1) определена в точке а (то есть существует );

2) имеет конечный предел функции при ;

3) этот предел равен частному значению функции в точке а, то есть .

Определение 14.2. Функция называется непрерывной справа (слева) в точке a, если правое (левое) предельное значение этой функции в точке a существует и равно частному значению .

 Пример 14.1.

Приведём примеры непрерывных функций:

1) , так как .

2) при .

3) Функция свойством непрерывности в точке не обладает. 

Определение непрерывности в точке а может быть записано и так:

,

то есть для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции. Очевидно, что непрерывность функции в данной точке выражается непрерывностью её графика при прохождении данной точки (без отрыва карандаша от листа бумаги).

Дадим аргументу а приращение . Тогда функция получит приращение , определяемое как разность наращенного и исходного значений функции (см. рис. 14.1): . Рис. 14.1.

Определение 14.3. Функция называется непрерывной в точке а, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: .

Определение 14.4. Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва функции.

Например, функция Дирихле разрывна в каждой точке .

Точки разрыва имеют различный характер и классифицируются следующим образом.

1) Если , то а называется точкой устранимого разрыва функции . При этом значение может быть и не определено.

2) Если , то а называется точкой разрыва с конечным скачком функции . Значение может быть любым, а может быть и не определено.

3) Конечный скачок и устранимый разрыв функции называются разрывами I рода. Их отличительным признаком является существование конечных односторонних пределов и .

Все другие разрывы называются разрывами II рода. В точке разрыва II рода хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.

 Пример 14.2. 1) Пусть Очевидно, , но (рис. 14.2). Следовательно, – точка устранимого разрыва функции . Если положить , то разрыв устраняется.

Рис. 14.2.

2) Пусть Здесь , (рис. 14.3). Следовательно, – точка разрыва с конечным скачком функции . При переходе через точку значения функции меняются скачком от значений, сколь угодно близких к 1 при к значению, равному 0 в точке , и значениям, сколь угодно близким к 0 при .

Рис. 14.3.

3) Пусть . Определим односторонние пределы: , . Точка – точка разрыва функции II рода (рис. 14.4).

Рис. 14.4. 

Определение 14.5. Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в любой точке . Функция непрерывна на интервале или на сегменте , если

; .

14.2. Свойства функций, непрерывных в точке.

♦ Теорема 14.1. 1) Если функции и определены на и непрерывны в точке a, то их алгебраическая сумма (разность) , произведение и частное являются функциями, непрерывными в точке a.

Доказательство следует из определения непрерывности функции и аналогичных свойств пределов функций. ■

♦ 2) Если функция непрерывна в точке а и , то существует такая окрестность точки а, в которой .

Доказательство этого свойства основывается на том, что при малых приращениях аргумента в соответствии с определением 14.3 можно получить как угодно малое приращение функции , так что знак функции в окрестности точки а не изменится. ■

♦ 3) Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , и , то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство. Малому приращению аргумента в силу определения 14.3 соответствует как угодно малое приращение , приводящее, в свою очередь, в силу того же определения непрерывности функции к как угодно малому приращению ■

Свойство 3 может быть записано в виде

,

то есть под знаком сложной функции можно переходить к пределу.

Функция называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Можно доказать, что все элементарные функции непрерывны в области их определения.

 Пример 14.3. Доказать непрерывность функции .

Найдём . Таким образом, получили, что , следовательно, по определению 14.3 функция является непрерывной на всей числовой оси. 

Отметим ещё некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке:

1) Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке (см. рис. 14.5).
	Рис. 14.5.
2) Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M (см. рис. 14.6).
	Рис. 14.6.
3) Если функция непрерывна на отрезке и значения её на концах отрезка и имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдётся точка такая, что (cм. рис. 14.7).
	Рис. 14.7.

64