§ 8. Стационарные состояния. Стационарные уравнения Шредингера.

Пусть микрочастица движется в силовом стационарном поле, где потенциальная энергия не зависит от t, такие поля называют стационарными.

-Гамильтониан не зависит от t.

При этом динамика движения частицы описывается общим или временным уравнением Шредингера:

Будем решать уравнение Шредингера методом разделения переменных. Предположим:

Подставим в уравнение Шредингера:.

Разделим все члены этого уравнения на полную волновую функцию:

В последнем уравнении левая часть зависит только от t, а правая лишь только от . Причем это равенство выполняется при всех значениях независимых переменныхиt, но это возможно лишь только тогда, когда левые и правые части равны . Тогда мы получаем два независимых уравнения для временной и координатной части функции:

(1),

(2).

Отсюда следует, что временная зависимость волновой функции является универсальной для всех силовых полей. Особенность силового поля определяют лишь координатной частью волновой функции в соответствии с уравнением (2). Уравнение (2)-собственное значение E имеет смысл полной энергии частицы заданной в силовом поле. Уравнение (2) называется стационарным уравнением Шредингера:

В частности, при движении частицы по оси x, уравнение принимает вид (одномерное):

Найдем решение уравнения (1):

Интегрируя последнее уравнение, мы получим окончательный результат:

-во всех стационарных полях.

-волновая функция во всех стационарных полях.

Хотя волновая функция зависит явно от t, однако все наблюдаемые параметры являются стационарными.

,

,

.

Глава 3. Одномерное движение микрочастиц.

§ 1. Частица в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме.

Пусть частица массой m движется в одномерном силовом поле вдоль оси x вида:

Так как поле явно от t не зависит, то волновая функция:

.

-координатная часть решается как одномерное уравнение Шредингера.

Вне ямы частицу встречает бесконечно отталкивающий барьер, следовательно, в этих областях вероятность нахождения частицы равна нулю, то есть ,,. В частности из условия непрерывности следует:,.

Рассмотрим область , тогда уравнение Шредингера:

,

.

Введем обозначения:,.

Решением последнего уравнения будет: . Решение уравнения Шредингера имеет вид стоячих волн.

Рассмотрим граничные условия:

, следовательно .

, следовательно ,,

Все ли n имеют физический смысл?

Случай n=0 не имеет физического смысла.

Во-первых, если и, значитво всем пространстве, что физически соответствует отсуствию частицы вообще. Этот же результат подтверждается соотношением неопределенности Гейзенберга:

.

Если , то.

,

Амплитуду найдем из условия нормировки:

,

,

.

Замечание:

Решенная задача имеет прикладное значение в физики твердого тела, ее называют модель Зоммерфельда.

Внутри ямы находятся дискретные уравнения энергии. Электроны стремятся занять эти уровни. - энергия Ферми (максимальная энергия, которую имеют электроны в металлах при абсолютном нуле температуры).