§ 3. Операторы в квантовой механике.

Определение 1. Оператором назыв. правило (рецепт), по которому одной функцииставится в соответствии другая функция тех же независимых переменных .

Примеры:

Определение 2.Оператором назыв. линейным, если выполняются 2 условия:

Определение 3. Суммой операторов и назыв. оператор , который если для произвольной функции выполняется условие .

Определение 4. Произведением операторов и назыв. оператор , удовл. условию: .

Операторы, вообще говоря, образуют алгебру некоммутирующих величин .

Пример: но

т.к. произвольная функция .

Определение 5.Оператор назыв. коммутатором операторови.

.

Определение 6.Если в результате действия операторана некоторую функцию,в результате получается та же функция, умноженная на постоянную, т.е., где- назыв. собственной функцией, а- собственным значением.

Определение 7.Совокупность всех собственных значенийназыв. его спектром. Очевидно, спектры бывают дискретные, сплошные и смешанные.

Определение 8.Если каждому собственному значениюсоответствует единственная собственная функция, то спектр назыв. невырожденным. Если одному собственному значениюсоответствуетразличных собственных функций, то спектр назыв. вырожденным с кратностью вырождения.

Определение 9.Оператораназыв. самосопряженным или эрмитовым, если для любых функцийисправедливо равенство:

.

Все физические операторы, введенные ранее явл. линейными и эрмитовыми.

Теорема 1.Собственные значения эрмитовых операторов всегда явл. действительными числами.

Пусть - эрмитовый оператор, или- его собственная функция, т.е..

Рассмотрим среднее значение оператора:

Определение 10.Функцияиназыв. ортогональными, если справедливо равенство.

Теорема 2.Собственные функции линейных эрмитовых операторов взаимно ортогональны.

Для простоты рассмотрим частный случай невырожденных собственных значений дискретного спектра

.

Докажем, что если.

Для доказательства рассмотрим интеграл вида: .

С другой стороны

Вычитая из 1-го равенства 2-ое, получаем:

при

.

Если индексы .

Введем символ Кронекера .

Тогда условие ортогональности и нормировки можно записать в виде одного равенства . Это условие назыв. условием ортонормированности.

Вторым важным свойством собственной функции любого линейного эрмитового оператора явл. свойство полноты. Оно состоит в следующем: пусть - собственные функции оператора, тогда в соответствии с принципом суперпозиции квантовая система может находиться в состоянии:.

Иными словами совокупность всех собственных функций любого линейного эрмитового оператора образует полную систему. ( Аналогия с векторной алгеброй: в трехмерном пространстве любой вектор , где- ортонормированный полный набор базисных векторов.

§ 4. Операторы и наблюдаемые величины.

В соответствии с общими принципами квантовой механики измеряемым параметром является такой интеграл:

Пусть ,является собственной функцией, тогда для нормированной функции:

, - также является действительным числом.

Если не является собственной функцией оператора и обозначим это произвольное состояние, то есть.Тогда среднее произвольное значение будет:

Учтем свойство полноты и ортонормированности собственных функций любого линейного эрмитового оператора, разложим:

Преобразуем среднее значение:

С другой стороны по теории вероятности:

, следовательно.

Отсюда можно ввести два дополнительных постулата.