§2.2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
1. Модель, на которой можно продемонстрировать сложение взаимно перпендикулярных колебаний, представлена на Рисунке 2.3. Маятник (материальная точка массой m) может совершать колебания по осям ОХ и ОУ под действием двух сил упругости, направленных взаимно перпендикулярно.
|
| |
|
|
|
Рисунок 2.3
Складываемые
колебания имеют вид: 
.
Частоты колебаний определяются как
, 
,
где 
, 
-коэффициенты
жесткости пружин.
2.
Рассмотрим случай сложения двух взаимно
перпендикулярных колебаний с одинаковыми
частотами 
,
что соответствует условию
(одинаковые
пружины). Тогда уравнения складываемых
колебаний примут вид:
,
.
Когда точка участвует одновременно в двух движениях, ее траектория может быть различной и достаточно сложной. Уравнение траектории результирующего колебаний на плоскости ОХУ при сложении двух взаимно перпендикулярных с равными частотами можно определить, исключив из исходных уравнений для х и y время t:
.
Вид траектории определяется разностью начальных фаз складываемых колебаний, которые зависят от начальных условий (см. § 1.1.2).
Рассмотрим возможные варианты.
а)
Если 
,
где n =
0, 1, 2…, т.е. складываемые колебания
синфазные, то уравнение траектории
примет вид (Рисунок 2.3 а):
.
|
| |
|
|
|
Рисунок 2.3.а Рисунок 2.3 б
б)
Если 
(n =
0, 1, 2 …), т.е. складываемые колебаний
находятся в противофазе, то уравнение
траектории записывается так (Рисунок
2.3б):
В обоих случаях ( а, б) результирующее движение точки будет колебание по прямой, проходящей через точку О. Частота результирующего колебания равна частоте складываемых колебаний ω0, амплитуда определяется соотношением:
.
Угол,
который прямая (траектория) составляет
с осью ОХ, можно найти из уравнения 
(знак
«плюс» – случай а), знак «минус» – случай
б)). Результатом сложения взаимно
перпендикулярных колебаний (случай а
и б) является колебание, которое
называется линейно
поляризованным.
в)
Если 
(n =
0, 1, 2 …), то уравнение траектории
результирующего движения примет вид:
.
Это
уравнение эллипса, его оси совпадают с
осями координат ОХ и ОУ, а размеры его
полуосей равны 
и 
(Рисунок
2.4 ).
Точка
в результате участия в двух взаимно
перпендикулярных колебаниях описывает
эллипс за время, равное периоду
складываемых колебаний 
.
3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с кратными частотами.
Складываются
взаимно перпендикулярные колебания,
частоты которых не равны 
,
но 
, 
,
где a и b – целые числа: 
, 
.
Периоды колебаний вдоль
осей ОХ и
ОУ соответственно равны 
и 
.
Отношение периодов 
.
Траектория точки, участвующей во взаимно перпендикулярных колебаниях с кратными частотами, - замкнутая кривая, форма которой зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Такие замкнутые траектории называются фигурами Лиссажу.
Глава 3. Затухающие колебания.
Затуханием колебаний называется постепенное уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.
Собственные колебания без затухания – это идеализация. Причины затухания могут быть разные. В механической системе к затуханию колебаний приводит наличие трения. В электромагнитном контуре к уменьшению энергии колебаний приводят тепловые потери в проводниках, образующих систему. Когда израсходуется вся энергия, запасенная в колебательной системе, колебания прекратятся. Поэтому амплитуда затухающих колебаний уменьшается, пока не станет равной нулю.
Затухающие колебания, как и собственные, в системах, разных по своей природе, можно рассматривать с единой точки зрения – общих признаков. Однако, такие характеристики, как амплитуда и период, требуют переопределения, а другие – дополнения и уточнения по сравнению с такими же признаками для собственных незатухающих колебаний.
Общие признаки и понятия затухающих колебаний следующие:
1. Дифференциальное уравнение должно быть получено с учетом убывания в процессе колебаний колебательной энергии.
2. Уравнение колебаний – решение дифференциального уравнения.
3. Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени.
4. Частота и период зависят от степени затухания колебаний.
5. Фаза и начальная фаза имеют тот же смысл, что и для незатухающих колебаний.