Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Vishmat2docx.docx
Скачиваний:
39
Добавлен:
18.04.2015
Размер:
502.08 Кб
Скачать

31 Преобразование Лапласа. Теорема запоздания.

Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию  комплексного переменного (изображение) с функцией  вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Прямое преобразование Лапласа[править | править исходный текст]

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной , называется функция  комплексной переменной [1], такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа[править | править исходный текст]

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция  вещественной переменной, такая что:

где  — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа[править | править исходный текст]

Основная статья: Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции  участвуют значения .

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

Дискретное преобразование Лапласа[править | править исходный текст]

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.

Различают -преобразование и -преобразование.

-преобразование

Пусть  — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени , где  — целое число, а  — период дискретизации.

Тогда, применяя преобразование Лапласа, получим:

-преобразование

Основная статья: Z-преобразование

Если применить следующую замену переменных:

получим -преобразование:

8.Теорема запаздывания. Если f(t)=F(p), то для любого t >0

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]