56. Применение рядов для вычисления пределов

Разложение функций в ряд Тейлора. При исследовании свойств бесконечно дифференцируемых функций изучают их степенные ряды ряды Тейлора. Пусть функция   определена в некоторой окрестности точки   и имеет в этой точке производные всех порядков. Ряд

называется рядом Тейлора для функции    в точке . При такой ряд называют также рядом Маклорена:    . Функция  может быть разложена в степенной ряд на интервале , если существует степенной ряд, сходящийся к  на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки , то это ряд Тейлора. Пусть функция  бесконечно дифференцируема на интервале и все ее производные ограничены в совокупности на этом интервале, то есть существует число   , такое, что для всех    и для всех   справедливо неравенство . Тогда ряд Тейлора сходится к   для всех  

Билет 26

26. Линейность преобразования лапласа.

Линейность преобразования Лапласа. Так как формула прямого преобразования линейна относительно подынтегрального сомножителя f(t), то преобразование линейно — изображение суммы оригиналов равно сумме изображений слагаемых.

57. примнение рядов для вычисления производных

Билет 27

27. Линейность преобразования лапласа.

Линейность преобразования Лапласа. Так как формула прямого преобразования линейна относительно подынтегрального сомножителя f(t), то преобразование линейно — изображение суммы оригиналов равно сумме изображений слагаемых.

59.Решение диф уравнений с помощью степенных рядов

Вычисление неопределенного интеграла
	Интеграл с переменным верхним пределом Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций Матрица Гессе
Несобственные интегралы первого и второго рода
	Определение первообразной и её свойстваСвойства несобственных интегралов первого и второго рода
Кратные интегралы
	Вычисление двойного и тройного интеграла Геометрические и физические приложения кратных интегралов
Первообразная и производная
	Определение первообразной и её свойства Частные производные Производная сложной функции
Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле
Определенные, криволинейные и поверхностные интегралы
	Свойства криволинейного интеграла первого и второго рода Таблица изображений некоторых функций
Функциональные и степенные ряды, сходимость ряда
	Критерий Коши необходимые и достаточные условия сходимости ряда Функциональные последовательности Разложение функций в степенные ряды Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Решение дифференциального уравнения
	Обыкновенные дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными Метод Лагранжа

Билет 28

28. Преобразование лапласа при диф оригинала

3. Дифференцирование оригинала. Если функции f (t), f(t) , f (t),…, f ⁽ⁿ⁾(t) являются функциями-оригиналами и f(t)=F(p), то

,

,

,

где под f ^(k)(0), (k= 1, 2,…, n-1) понимается .

60.Принцип представления тригонометрическим рядом фурье. 2- переодических функций.

Тригонометрический ряд Фурье — представление произвольной функции  с периодом  в виде ряда

(1)

или используя комплексную запись, в виде ряда:

.

  Тригонометрический ряд, служащий для разложения периодической функции на гармонические компоненты. Если функция f (x) имеет период 2T, то её Ф. р. имеет вид

         

        где a₀, a_n, b_n (n ≥ 1) — Фурье коэффициенты. В зависимости от того, в каком смысле понимаются интегралы в формулах для коэффициентов, говорят о рядах Фурье — Римана, Фурье — Лебега и т.д. Обычно рассматривают 2π-периодические функции (общий случай сводится к ним преобразованием независимого переменного).

         Ф. р. представляют собой простейший класс разложений по ортогональной системе функций (См. Ортогональная система функций), а именно — по тригонометрической системе 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,..., cos nx, sin nx,..., которая обладает двумя важными свойствами: замкнутостью и полнотой. Частичные суммы Ф. р. (суммы Фурье)

         

        обращают в минимум интеграл

         

        где t_n (x) — произвольный тригонометрический полином порядка ≤ n, а функция f (x) интегрируема с квадратом. При этом

         

        так что функции f (x), имеющие интегрируемый квадрат, сколь угодно хорошо аппроксимируются своими суммами Фурье в смысле среднего квадратичного уклонения (см. Приближение и интерполирование функций).

         Для любой интегрируемой функции f (x) коэффициенты Фурье a_n, b_n при n → ∞ стремятся к нулю (Б. Риман, А. Лебег). Если же функция f (x) несобственно интегрируема по Риману, то коэффициенты Фурье могут и не стремиться к нулю (Риман). В случае, если квадрат функции f (x) интегрируем, то ряд 

         

         Один из вариантов этой формулы был впервые указан французским математиком М. Парсевалем (1799), а общая формула (где интеграл понимается в смысле Лебега) доказана Лебегом. Обратно, для любой последовательности действительных чисел a_n, b_n со сходящимся рядом 

         Известно большое число признаков сходимости Ф. р., т. е. достаточных условий, гарантирующих сходимость ряда. Например, если функция f (x) имеет на периоде конечное число максимумов и минимумов, то её Ф. р. сходится в каждой точке (П. Дирихле). Более общо, если f (x) имеет ограниченное изменение (см. Изменение функции), то её Ф. р. сходится в каждой точке и притом равномерно на каждом отрезке, внутреннем к отрезку, на котором f (x) непрерывна (К. Жордан). Если f (x) непрерывна и её модуль непрерывности ω(δ, f) удовлетворяет условию 

         Проблема полного исследования условий сходимости Ф. р. оказалась весьма трудной, и в этом направлении до сих пор нет окончательных результатов. Как показал Риман, сходимость или расходимость Ф. р. в некоторой точке x₀ зависит от поведения функции f (x) лишь в сколь угодно малой окрестности этой точки (т. н. принцип локализации для Ф. р.). Если в точке x₀ функция f (x) имеет разрыв первого рода, т. с. существуют различные пределы f (x₀ — 0) и f (x₀ + 0), и Ф. р. этой функции сходится в точке x₀, то он сходится к значению ¹/₂{f (x₀ — 0) + f (x₀ + 0)}. В частности, если Ф. р. непрерывной периодической функции f (x) сходится в каждой точке, то его сумма равна f(x).

         Известно, что существуют непрерывные функции, Ф. р. которых расходятся в бесконечном числе точек (немецкий математик П. дю Буа-Реймон, 1875), и интегрируемые в смысле Лебега функции, Ф. р. которых расходятся в каждой точке (А. Н. Колмогоров, 1926). Однако Ф. р. всякой интегрируемой с квадратом функции сходится почти всюду (Л. Карлесон, 1966). Этот результат верен и для функций из любого пространства L^p (—π, π) с p < 1 (Р. Хант, 1968). Упомянутые «дефекты сходимости» породили методы суммирования Ф. р. Вместо того чтобы исследовать поведение сумм Фурье, исследуют средние, образованные из этих сумм, поведение которых в ряде случаев оказывается значительно более правильным. Например, для любой непрерывной периодической функции f (x) сумма Фейера

         

Билет 29.