30 Преобразование лапласа. Интегрирование оригинала.
Преобразова́ние
Лапла́са —
интегральное преобразование, связывающее
функцию 
комплексного
переменного (изображение)
с функцией 
вещественного
переменного (оригинал).
С его помощью исследуются свойства динамических
систем и
решаются дифференциальные и интегральные
уравнения.
Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.
Прямое преобразование Лапласа[править | править исходный текст]
Преобразованием
Лапласа функции вещественной
переменной 
,
называется функция 
комплексной
переменной 
[1],
такая что:
Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.
Обратное преобразование Лапласа[править | править исходный текст]
Обратным
преобразованием Лапласа функции комплексного
переменного 
,
называется функция 
вещественной
переменной, такая что:
где 
—
некоторое вещественное число (см. условия
существования).
Правая часть этого выражения
называется интегралом
Бромвича.
Двустороннее преобразование Лапласа[править | править исходный текст]
Основная статья: Двустороннее преобразование Лапласа
Двустороннее
преобразование Лапласа — обобщение
на случай задач, в которых для
функции 
участвуют
значения 
.
Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:
Дискретное преобразование Лапласа[править | править исходный текст]
Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.
Различают 
-преобразование
и 
-преобразование.
-преобразование
Пусть 
—
решётчатая функция, то есть значения
этой функции определены только в
дискретные моменты времени 
,
где 
—
целое число, а 
—
период дискретизации.
Тогда, применяя преобразование Лапласа, получим:
-преобразование
Основная статья: Z-преобразование
Если применить следующую замену переменных:
получим 
-преобразование:
5. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на р, т. е. если f(t)=F(p), то
.
62. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.
Ряд Фурье для произвольного интервала.
Разложение периодической функции с периодом L.
Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.
Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид
Где коэффициенты ряда Фурье,
Однако чаще приведенную выше формулу приводят к зависимости от х. Поскольку u=2πх/L, значит, du=(2π/L)dx, а пределы интегрирования - от -L/2 до L/2 вместо - π до π. Следовательно, ряд Фурье для зависимости от х имеет вид
где в диапазоне от -L/2 до L/2 коэффициенты ряда Фурье,
(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)
Билет 31