50.Ряды Тейлора и Маклорена. Вывод формулы для общего члена ряда Маклорена.

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.  Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена











Доказательство

Операторные соображения[

Перед доказательством удобно рассмотреть соображения высшего порядка (принадлежащие Лагранжу) о том, почему такая формула имеет место. Обозначим  — разностный оператор,  — оператор суммирования, — оператор дифференцирования,  — оператор интегрирования.  обратен к , а  - обратен к . Можно выразить  через  с помощью формулы Тейлора:

т.е.  и тогда , а поскольку , то

Применяя это операторное соотношение к , получаем искомую формулу, но без остаточного члена.

Этот вывод чисто формальный и не касается вопросов сходимости.

Билет 20

20. Лоду с пос коэф. Второго порядка

Комплексные корни.

Случай различных диф корней характеристического уравнения.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

где p, q − постоянные коэффициенты.  Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:

Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k₁ и k₂ действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией

где C₁ и C₂ − произвольные действительные числа. 

Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k₁ = α + βi, k₁ = α − βi. Общее решение записывается в виде

51.представление ф-ции sin в виде ряда макларенса

Билет21

21.Структура общего решения лнду второго порядка

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка

где- заданные, непрерывные на (а;b) функции. Уравнение

левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (5.1), называется соответствующим ему однородным уравнением.

Теорема 5.1 (структура общего решения ЛНДУ). Общим решением у уравнения (5.1) является сумма его произвольного частного решения у* и общего решения  соответствующего однородного уравнения (5.2), т. е.

Убедимся, что функция (5.3) - решение уравнения (5.1). Так как у* есть решение уравнения (5.1), а- решение уравнения (5.2), то

В таком случае имеем:

Это означает, что функцияявляется решением уравнения (5.1).

Покажем теперь, что функция

является общим решением уравнения (5.1). Для этого надо доказать, что из решения (5.4) можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

Продифференцировав функцию (5.4) и подставив начальные условия (5.5) в функцию (5.4) и ее производную, получим систему уравнений:

где у_о=у(х_о), у'₀=y'(x₀), с неизвестными c₁ и с₂. Определителем этой системы является определитель Вронского W(x₀) для функции y₁(x) и у₂(х) в точке х=х_о. Функции y₁(x) и у₂(х) линейно независимы (образуют фундаментальную систему решений), т. е.Следовательно, система имеет единственное решение: c₁=с⁰₁ и с₂=с⁰₂.

Решениеявляется частным решением уравнения (5.1), удовлетворяющим заданным начальным условия

52.представление ф-ции cos в виде ряда макларенса

Билет22

22 решение общего решения лнду второго порядка методом лагранжа

непосредственное нахождение частного решения лнду, кроме случая уравнения с постоянными коэффициентами, причем со специальными свободными членами, представляет большие трудности. Поэтому для нахождения общего решения лнду обычно применяют метод вариации произвольных постоянных, который всегда дает возможность найти общее решение лнду в квадратурах, если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения. Этот метод состоит в следующем. Согласно вышеизложенному, общее решение линейного однородного уравнения:  , (8.1) где  – линейно независимые на некотором интервале X решения лоду, а - произвольные постоянные. Будем искать частное решение лнду в форме (8.1), считая, что  – не постоянные, а некоторые, пока неизвестные, функции от :  . (8.2) Продифференцируем равенство (8.2): . (8.3) Подберем функции  и  так, чтобы выполнялось равенство: . Тогда вместо (8.3) будем иметь:  . (8.4) Продифференцируем это выражение еще раз по . В результате получим: . (8.5) Подставим (8.2), (8.4), (8.5) в лнду 2-го порядка  f(x):  f(x) или  f(x). (8.6) Так как  - решения лоду , то последнее равенство (8.6) принимает вид:  f(x). Таким образом, функция (8.2) будет решением лнду в том случае, если функции  и  удовлетворяют системе уравнений:  (8.7) Так как определителем этой системы является определитель Вронского для двух линейно независимых на X решений соответствующего лоду, то он не обращается в ноль ни в одной точке интервала X. Следовательно, решая систему (8.7), найдем  и :  и . Интегрируя, получим: , , где  - произвольные постоянные. Возвращаясь в равенство (8.2), получим общее решение неоднородного уравнения: .

53.представление ф-ции в виде ряда макларенса

Билет23

23. лнду с пост коэффициентами с правой частью специального вида.

Общее решение y_ОН линейного неоднородного дифференциального уравнения L(y)=b(x) есть сумма общего решения y_ОО соответствующего однородного уравнения L(y) = 0 и какого - либо частного решения y_ЧН исходного неоднородного уравнения. Для уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида это частное решение может быть найдено достаточно просто.

Функцию , где P_j(x) - некоторые полиномы (многочлены), назовём квазиполиномом. По теореме о наложении решений, если y_j , j=1,2,..,m - решения уравнений L(y) = b_j(x), то  есть решение уравнения . Поэтому, не умаляя общности, будем считать, что правая часть уравнения L(y) = b(x) с постоянными коэффициентами имеет вид b(x) = P(x)e^λx. В частности, если λ=α+βi - комплексное число, то наиболее общей правой частью указанного типа является функция

 (1)

у которой P(x)и Q(x)- некоторые полиномы. Справедлив следующий результат.

Теорема. Линейное дифференциальное уравнение

с постоянными коэффициентами и правой частью вида (1) имеет частное решение

,

где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x) , S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x) , Q(x).