- •Кафедра высшей математики
- •§ 2. Исследование формы эллипса
- •§ 3. Эксцентриситет эллипса
- •§ 4. Фокальные радиусы эллипса
- •§ 5. Параметрические уравнения эллипса
- •§ 6. Гипербола. Вывод её канонического уравнения
- •2A (24).
- •§ 7. Исследование формы гиперболы
- •§ 8. Эксцентриситет гиперболы
- •§ 9. Фокальные радиусы гиперболы
- •§ 10. Равносторонняя гипербола как график обратной
- •§ 11. Директрисы эллипса и гиперболы
- •§ 12. Парабола
- •§ 13. Общее уравнение для эллипса, параболы и гиперболы
§ 6. Гипербола. Вывод её канонического уравнения
Определение: Гиперболой6называется множество точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек (фокусов7), лежащих в этой же плоскости, есть величина постоянная.
Обозначим эту постоянную как 2а, а расстояние между фокусами F1 и F2 как 2с (фокусное расстояние), причём a c.
Построим декартову прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось ОХ проходила через фокусы, а её положительное направление совпадало с направлением вектора . Начало координатной системы разместим в центре отрезка. Тогда координаты фокусов будут иметь вид(–с;0) и
(с;0).
Пусть М (х;у) – произвольная точка гиперболы, тогда
F1 M – F2 M = 2a (23).
F1 M = F2 M =
Тогда уравнение гиперболы принимает вид
2A (24).
Знак « – » в правой части выражения (24) получается в том случае, когда в левой части равенства уменьшаемое оказывается меньше вычитаемого.
После упрощений, подобных тем, что делались в §1, получим
каноническое уравнение гиперболы
(25),
где с2– (26).
§ 7. Исследование формы гиперболы
Из уравнения (25) следует, что х2 а2. Это означает, что в полосе между прямыми х = – а и х = + а нет ни одной точки гиперболы.
Точки, в которых гипербола пересекает действительную ось , называются её вершинами. Если действительная ось гиперболы совпадает с осью ОХ, то это будут точки (– а;0) и (+ а;0).
Поскольку в уравнение (25) переменные х и у входят во второй степени, то гипербола симметрична относительно координатных осей и, следовательно, достаточно изучить её форму в первой четверти, где она определяется уравнением
(27).
При х = а получаем у = 0. Найдём наклонную асимптоту гиперболы. Это прямая вида у = х + q. Здесь
,
Таким образом, гипербола имеет две наклонные асимптоты
у = – и у = + (28).
Для изображения гиперболы на чертеже сначала построим так называемый основной прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны равны 2а и 2b и параллельны соответственно координатным осям ОХ и ОУ. Прямые, сопадающие с диагоналями этого прямоугольника, и есть асимптоты гиперболы. Центр их пересечения называется центром гиперболы.
Рис. 4
Координатная ось, пересекающая гиперболу в двух точках, называется действительной осью, а другая координатная ось называется мнимой осью (она не имеет никаких общих точек с гиперболой). Отрезки [-а;+а] и [-b;+b] называются соответственно действительной и мнимой осями гиперболы, а отрезки [0;+а] и [0;+b] называются соответственно действительной и мнимой полуосями. Если а = b, то гипербола называется равносторонней. Её уравнение имеет вид
х2 – у2 = а2 (29).
В этом случае основной прямоугольник гиперболы становится квадратом со стороной 2a.
Гипербола с действительной осью на координатной оси ОУ описывается уравнением
(30).
Если параллельным переносом центр гиперболы (25) переме-стить в () М0(х0;у0), то её уравнение примет вид
(31).