25.Разложение вектора по базису пдск(прямоугольная декартовая система координат)

i,j,k – попарно ортогональные единичные векторы, направленные по осям ПДСК, называемые ортами. Эти векторы задают ортонормированный базис. Это означает, что любой другой вектор кроме i,j,k можно единственным образом разложить по ортам.

a=OA=OA_x=OA_y=OA_z

OA=x*i+y*j+z*k.

A(x,y,z)- координаты вектора a в ортонормированном базисе

Действия с разложенными векторами сводятся к действиям с векторами базиса и координатами

26. Общее уравнение прямой на плоскости

Уравнение вида ax+by+c=0 , где a­­²+b² не равно нулю называется общим уравнением прямой

n=(a,b) – нормаль или нормальный вектор

a(x-x₀)+ b(y-y₀)=0 Это уравнение позволяет по координатам точки на прямой L и координатам нормального вектора прямой L записать уравнение прямой без промежуточных вычислений.

27. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом

Определим прямую l на плоскости. Для этого зададим точку x₀,y₀ принаддежащую этой прямой и угол φ, который надо вернуть по часовой стрелки оси ox до совмещения с прямой. Точка M (x,y) принадлежит L тогда и только тогда, когда M₀M составляют с осью ox угол φ или p-φ. При этом отношении координат этого вектора равно тангенсу φ

Это условие можно записать в виде y-y₀\x-x_0­=tg φ.

tg φ=k

tg φ=y-y₀\x- x₀

y- y₀=k(x- x₀)

y=kx- kx₀+y₀=kx+b – уравнение прямой с угловым коэффициентом

k- угловой коэффициент прямой, т.е tg φ прямой к оси ox. Параметр b – ордината точки пересечения прямой с осью oy.

28. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки. Уравнение прямой в отрезках

Пусть даны две точки M1 и М2 с координатами (x1; y1)  и  (x2; y2). Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через точки M1 и М2, примем вектор S= (M1;M2) за направляющий вектор этой прямой.

Каноническое уравнение прямой проходящей через точку M1 (x1; y1) и имеющей направляющий вектор S = (S1; S2), имеет вид

Подставив в это уравнение координаты вектора  S = (M1;M2) = (x2 — x1; y2 — y1), получим

    

 Это уравнение называется уравнением, прямой, проходящей через две точки.

Также S=(l,m). тогда каноническое уравнение прямой примет вид

, где t- некоторое действительное число

x=x­₁+tl

y=y₁+tm это параметрические уравнения прямой

Уравнение прямой в отрезках

Пусть A (a,0), B(0,b), тогдаследовательно;

  Векторно-параметрическое уравнение прямой 

где - фиксированная точка, лежащая на прямой;- направляющий вектор.

29. Нормальное уравнение прямой.

 Нормальное уравнение прямой

где p - длина перпендикуляра (нормали), опущенного из начала координат на прямую, а - угол наклона этого перпендикуляра к оси Ox. Чтобы привести общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 к нормальному виду, нужно все члены его умножить на нормирующий множитель, взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена C.

30. Расстояние от точки до прямой

 Расстояние точки A(x1, y1) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле

Правило. Чтобы определить расстояние точки A(x1, y1) до прямой Ax + By + C = 0, нужно привести уравнение прямой к нормальному виду, взять левую часть полученного уравнения и подставить в нее вместо текущих координат координаты данной точки. Абсолютная величина полученного числа и даст искомое расстояние:

Расстояние от точки до прямой есть всегда величина положительная.