- •1. Элементы линейной алгебры (14 часов)
- •1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Система линейных алгебраических уравнений
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Определение 4
- •Определение 5
- •Определение 6
- •Определениe 7
- •Теорема 1
- •Доказательство
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Теорема 2
- •Определение 3
- •Определение 4
- •Теорема 3
- •Пример
- •Решение
- •Теорема 4
- •1.3. Свойства определителей
- •Определение 1
- •Свойство 1
- •Свойство 2
- •Свойство 3
- •Свойство 4
- •Свойство 5
- •Свойство 7
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Определение 4
- •Свойство 8
- •Определение 5
- •Определение 6
- •Пример 1
- •Решение
- •Свойство 9
- •Теорема разложения
- •Пример 2
- •Решение
- •1 способ
- •2 способ
- •Свойство 10
- •1.4. Матрицы. Действия с матрицами
- •Сложение матриц
- •Умножение на число
- •Умножение матриц
- •Пример
- •Решение
- •Определение
- •Теорема
- •1.5. Обратная матрица
- •Определение 1
- •Теорема 1
- •Доказательство
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Определение 4
- •Теорема 2
- •Доказательство
- •Пример
- •Решение
- •Проверка
- •1.6. Матричные уравнения. Матричная запись СЛАУ. Формулы Крамера
- •Теорема 1
- •Доказательство
- •Теорема 2
- •Доказательство
- •Пример 1
- •Решение
- •Теорема 1.2.4
- •Доказательство
- •Теорема 3
- •Доказательство
- •Пример 2
- •Решение
- •1.7. Расширенная матрица СЛАУ. Элементарные преобразования
- •Определение 1
- •Определение 2
- •1.8. Метод Гаусса
- •1. Расширенная матрица СЛАУ приведена к виду:
- •Пример 1
- •Решение
- •2. Расширенная матрица СЛАУ приведена к виду:
- •Пример 2
- •Решение
- •3. Расширенная матрица СЛАУ приведена к виду:
- •Пример 3
- •Решение
- •1.9. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли
- •Определение 1
- •Пример 1
- •Решение
- •Определение 2
- •Преобразования, не меняющие ранг матрицы:
- •Пример 2
- •Решение
- •Теорема Кронекера – Капелли
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •Пример 3
- •Решение
- •1.10. Однородные СЛАУ
- •Определение 1
- •Теорема 1 (теорема Кронекера-Капелли для однородной СЛАУ )
- •Пример 1
- •Решение
- •Определение 2
- •Пример 2
- •Решение
- •Теорема 2
- •Пример 3
- •Решение
- •1.11. Определение линейного пространства
- •Определение 1
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Определение 2
- •1.12. Линейная зависимость и независимость векторов в
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •Теорема 1
- •Теорема 2
- •1.13. Размерность линейного пространства. Базис
- •Определение 1
- •Теорема 1
- •Доказательство
- •Определение 2
- •Теорема 2
- •Доказательство
- •Теорема 3
- •Доказательство
- •Пример
- •Решение
- •Евклидово пространство. Нормированное пространство. Ортонормированный базис
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Определение 4
- •Определение 5
- •Теорема
- •(Неравенство Коши – Буняковского)
- •Доказательство
- •Теорема 2
- •Доказательство
- •Определение 6
- •Теорема 3
- •Доказательство
- •Определение 7
- •1. Элементы линейной алгебры (12 часов).
- •Основная
- •Дополнительная
1.Элементы линейной алгебры
1.1.Система линейных алгебраических уравнений
Определение 1
Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (СЛАУ) называется
a x |
+ a x |
2 |
+K+ a |
|
x |
n |
= b |
|
|
|||||
11 1 |
12 |
|
|
1n |
|
|
1 |
|
|
|||||
a21 x1 |
+ a22 x2 |
|
+K+ a2n xn |
|
= b2 |
, |
где ai j - коэффициент в i -ом уравнении |
|||||||
система вида: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
LLLLLLLLLLLL |
|
|
||||||||||||
a |
x |
+ a |
m2 |
x |
2 |
+K+ a |
mn |
x |
n |
= b |
m |
|
||
|
m1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
при неизвестном |
x j , |
i =1, 2,K, m ; |
j =1, 2,K, n ; |
x1 , x2 ,K, xn - неизвестные; b1 ,b2 ,K,bm - |
||||||||||
свободные члены.
Определение 2
Решением СЛАУ называется упорядоченный набор чисел x1 , x2 ,K, xn , который обращает каждое уравнение системы в верное равенство (тождество).
Определение 3
Таблица коэффициентов при неизвестных в СЛАУ называется матрицей системы и
a11 |
a12 |
K a1n |
|
|||
a |
a |
|
K a |
|
. При этом горизонтальные ряды в матрице |
|
обозначается: A = |
21 |
|
22 |
|
2n |
|
|
K |
K K K |
|
|||
|
|
am2 |
|
|
|
|
am1 |
K amn |
|
||||
называются ее строками, а вертикальные – ее столбцами. Числа, образующие матрицу, называются ее элементами. Элемент ai j находится в матрице в i -ой строке и в j -ом столбце.
Определение 4
Если число строк m не равно числу столбцов n (m ≠ n), матрица называется прямоугольной размерности m ×n . Обозначается: Am×n .
Определение 5
Матрица, имеющая один столбец или одну строку, называется, соответственно, матрицей
– столбцом или матрицей – строкой.
Определение 6
|
x |
1 |
|
|
b |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Матрица вида: X n×1 |
x |
2 |
|
- называется столбцом неизвестных, а B m×1 |
b2 |
|
- |
||
= |
K |
|
= |
K |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
bm |
|
||||
столбцом свободных членов в СЛАУ.
6