1.14. Евклидово пространство. Нормированное пространство. Ортонормированный базис
Определение 1
→ →
Линейное (векторное) пространство называется евклидовым, если x, y Rn ставится
→ →
всоответствие число, которое обозначается: ( x, y) и называется скалярным
произведением, удовлетворяющее следующим условиям:
|
→ → |
→ → |
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
( x, y) |
= ( y, x) x, y Rn ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
→ |
→ → |
→ → |
→ → |
|
→ → → |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
( x |
+ y, z) |
= ( x, z) +( y, z) |
x, y, z Rn ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
→ → |
→ → |
→ → |
→ → |
Rn , |
α R ; |
|
|
|
|
|||||
3) |
(α x, y) =α( x , y) = ( x,α y) |
x, y |
|
|
|
|
||||||||||
|
→ → |
|
→ → |
→ |
|
→ |
→ |
Rn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
( x, x) |
≥ 0 , ( x, x) = 0 x |
= 0 x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Определение 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
В линейном пространстве Rn |
|
→ → |
|
→ |
1 |
|
|
→ |
1 |
|
|
|||||
x, y |
Rn : x |
= x2 |
, |
y |
= y2 |
, скалярное произведение |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
K |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|
определяется по следующему правилу: |
( x, y) = x1 y1 + x2 y2 +K+ xn yn . |
|||||||||||||||
ЗАМЕЧАНИЕ
Из определения ясно, что все четыре свойства скалярного произведения выполняются.
Определение 3
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
|||||
Векторы x, y Rn называются ортогональными, если ( x, y) = 0 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Определение 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
Rn |
|
|
Евклидово |
|
пространство |
|
называется |
нормированным, если |
x |
ставится |
в |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
соответствие |
число, которое |
обозначается: |
|
x |
|
|
и называется |
нормой |
вектора |
x , |
||||||||||||||||||||
удовлетворяющее следующим условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
→ |
|
≥ 0 , |
|
→ |
|
|
→ |
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) |
|
x |
|
|
x |
|
|
= 0 x = |
0 |
x Rn ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
|
αx |
= |
α |
|
|
x |
|
x Rn , |
α R ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
≤ |
|
→ |
|
+ |
|
→ |
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) |
Неравенство треугольников: |
x |
+ y |
|
|
x |
|
|
y |
|
|
x, y Rn . |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
Определение 5
Линейное пространство Rn можно нормировать, введя норму по следующему правилу:
→ |
= |
→ → |
→ |
Rn . |
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
( x, x ) |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Теорема |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(Неравенство Коши – Буняковского) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
→ → |
→ → |
→ → |
→ → |
|
|
|
|
|
||||
|
( x, y)2 ≤ ( x, x) ( y, y) |
x, y Rn . |
|
|
|
|
|
||||||
Доказательство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Пусть λ R . Так как |
→ → |
→ |
→ |
|
|
|
|
|||||
|
x, y |
Rn , то и x−λ y Rn , и значит можно вычислить скалярное |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → → → → → |
→ → |
→ → |
→ → |
||
произведение: |
|
|
0 ≤ ( x−λ y, x−λ y) = ( x, x) −λ( y, x) −λ(x, y) +λ2 |
( y, y) = |
|||||||||
|
|
→ → |
→ → → → |
|
→ → |
|
→ → |
→ → |
|
||||
= λ2 ( y, y) −2λ(x, y) +( x, x) |
. Обозначив: |
A = ( y, y) , |
B = (x, y) , |
C = ( x, x) , |
получим |
||||||||
квадратное неравенство относительно переменной λ : |
A λ2 |
− 2B λ +C ≥ 0 . Из того, что |
|||||||||||
A ≥ 0 , следует, что дискриминант квадратного трехчлена в левой части неравенства D ≤ 0 , |
|||||||||||||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
→ → |
→ → |
→ → |
|
а значит |
= B2 − AC ≤ 0 . Отсюда B2 ≤ AC , то есть ( x, y)2 |
≤ ( x, x)( y, y) . |
|
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 2
Введенная таким образом в Rn норма удовлетворяет всем трем условиям.
Доказательство
Первые два свойства очевидны, они следуют из свойств скалярного произведения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ → → |
→ → |
→ → → → |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Докажем |
неравенство треугольников: |
|
|
|
x+ y |
|
|
|
= |
|
|
|
( x |
+ y, x+ y) = |
( x, x) +2(x, y) +( y, y) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
2 |
→ → |
|
→ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
+2( x, y) + |
|
y |
|
|
|
≤ |
(по |
неравенству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коши |
– |
Буняковского) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
≤ |
|
→ |
|
|
|
|
2 |
→ → → → |
|
|
|
→ |
|
|
|
2 |
= |
|
|
|
→ |
|
|
|
2 |
+2 |
|
→ |
|
|
→ |
|
|
+ |
|
→ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
+2 |
( x, x) |
( y, y ) + |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
. Извлекая квадратный |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
≤ |
|
→ |
|
|
|
+ |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
корень из обеих частей неравенства, получим: |
|
|
x |
+ y |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 6
Базис векторов в линейном нормированном пространстве называется ортонормированным, если все базисные вектора попарно ортогональны и нормы их равны единице.
Теорема 3
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||
→ |
|
0 |
|
→ |
|
1 |
|
→ |
|
0 |
|
образуют в Rn ортонормированный базис. |
Векторы: e |
= |
|
, e |
= |
|
, K, e |
= |
|
||||
1 |
K |
2 |
K |
n |
K |
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 |
|
|
Доказательство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
K 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
→ → |
→ |
|
|
их n |
|
|
|
|
|
= |
|
0 |
1 |
K 0 |
|
=1 ≠ 0 , они линейно |
|
1) |
e , e ,K, e Rn |
, |
|
штук |
и, |
так как |
|
|
||||||||||
|
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K K K K |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
K 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
независимы, следовательно e1 , e2 ,K, en |
образуют базис; |
|
|
|
|
|||||||||||||
2) |
→ |
→ |
0, i ≠ |
|
j |
=δi j |
( δi j |
называется |
символом |
Кронекера i, j =1,2,K, n ), |
||||||||
(ei , e j ) = |
|
j |
||||||||||||||||
|
|
|
1, i = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно e1, e2 ,K, en - попарно ортогональны; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) векторы нормированы, так как |
e1 |
= |
e2 |
=K |
= |
en |
=1 . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 7
→ → →
Базис векторов: e1, e2 ,K, en - называется стандартным.
4.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕОРИИ
1.Как вычисляется определитель второго порядка? Третьего порядка?
2.Для каких СЛАУ решение может быть найдено по формулам Крамера?
3.В каких случаях определитель равен нулю?
4.Что называется минором элемента определителя? Алгебраическим дополнением элемента определителя?
5.Как формулируется теорема разложения определителя по i -ой строке ( j -ому столбцу)?
6.Для каких матриц определено действие сложения матриц? Умножения матриц?
7.Какая матрица называется обратной к матрице A ?
8.Для каких матриц существует обратная?
9.Как выглядит матричная запись СЛАУ?
10.Какие преобразования расширенной матрицы СЛАУ называются элементарными? Перечислите их.
11.Что называется минором k -го порядка матрицы?
12.Что называется рангом матрицы?
13.Каково необходимое и достаточное условие совместности СЛАУ?
14.В каком случае СЛАУ имеет единственное решение? Бесконечно много решений?
15.В каком случае однородная СЛАУ имеет ненулевые решения?
16.Что называется фундаментальной системой решений однородной СЛАУ?
17.Чем определяется число решений в Ф. С. Р.?
18.Какие векторы называются линейно независимыми? Линейно зависимыми?
19.Каково необходимое и достаточное условие линейной независимости векторов?
20.Что является базисом в линейном пространстве R n ?
21.Какие векторы образуют стандартный базис в пространстве R n ?
39